Bethe-Bloch-Formel

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Die Bethe-Bloch-Formel (eigentlich: Bethe-Formel, s.u.) beschreibt näherungsweise den Energieverlust geladener Teilchen (Protonen, Alphateilchen, Atomionen, aber nicht Elektronen) beim Durchqueren von Materie durch Ionisation und Anregung.

Bewegen sich schnelle geladene Teilchen durch Materie, so wechselwirken sie mit den Hüllenelektronen der Atome des Materials. Diese Wechselwirkung führt zur Anregung oder zur Ionisation der Atome. Dadurch erleidet das durchquerende Teilchen einen Energieverlust, welcher durch die unten angegebene Formel näherungsweise angegeben wird. Die Bethe-Formel, die von Hans Bethe 1933 aufgestellt wurde, gibt den Energieverlust pro Weglängeneinheit (bzw. das Bremsvermögen des Materials) an:

$- \frac{dE}{dx} = \frac{4 \pi nz^2}{m_{\rm e} c^2 \beta^2 } \cdot \left(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\right)^2 \cdot \left[\ln \left(\frac{2m_{\rm e} c^2 \beta^2}{I \cdot (1-\beta^2)}\right) - \beta^2\right]$ (1)

wobei

$β$	$= v / c$
$v$	= Geschwindigkeit des Teilchens
$E$	= Energie des Teilchens
$x$	= Weglänge
$c$	= Lichtgeschwindigkeit
$z$	= Anzahl der Ladungen des Teilchens ( $z\cdot e$ = Ladung des Teilchens)
$e$	= Ladung des Elektrons
$n$	= Elektronendichte des Materials
$m e$	= Ruhmasse des Elektrons

Die Elektronendichte lässt sich dabei mit $n=\frac{N_{A}\cdot Z\cdot\rho}{A}$ berechnen. Dabei ist $ρ$ die Dichte des durchdrungenen Materials, $Z, A$ Ordnungs- bzw. Atommassenzahl und $N A$ die Avogadro-Zahl.

Für kleine Energien, d.h. für kleine Geschwindigkeiten des durchlaufenden Teilchens $( \beta \ll 1)$ , fällt laut Formel (1) der Energieverlust bei steigender Energie etwa mit $\frac {1} {v^2}$ ab und erreicht ein Minimum bei etwa $E = 3 M c 2$ , wo $M$ die Masse des Teilchens ist. Im stark relativistischen Bereich $( \beta \approx 1)$ steigt der Energieverlust wieder logarithmisch an.

Felix Bloch hat 1933 gezeigt, dass das mittlere Anregungspotential der Atome im Mittel etwa

(2)

beträgt, wo $Z$ die Ordnungszahl der Atome des Materials bedeutet. Setzt man diese Größe in Formel (1) oben ein, so führt das zu einer Gleichung, die oft als Bethe-Bloch-Gleichung bezeichnet wird. Da es aber genauere Tabellen von $I$ als Funktion von $Z$ gibt (z.B. im ICRU Report 49 der International Commission on Radiation Units and Measurements, 1993), erhält man durch Verwendung einer solchen Tabelle bessere Resultate als mit Formel (2).

[Bearbeiten] Zum Namen der Formel

In der Beschreibung der Programme PSTAR und ASTAR (für Protonen und Alphateilchen), die das National Institute of Standards and Technology (NIST) zur Verfügung stellt (www.physics.nist.gov/PhysRefData/Star/Text/programs.html), heißt die Formel (1) sinnvollerweise "Bethe's stopping power formula".

In der 2006 edition of Review of Particle Physics (W-M Yao et al. 2006 J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 33 1–1232) anderseits heißt die Formel unlogischerweise "Bethe-Bloch equation", obwohl dort der Blochsche Ausdruck (2) gar nicht drin steht.