Borel-Cantelli-Lemma

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Das Borel-Cantelli-Lemma (nach Emile Borel und Francesco Cantelli) ist ein Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es ist oftmals sehr hilfreich bei der Untersuchung auf fast sichere Konvergenz von Zufallsvariablen.

Es sei eine unendliche Folge zufälliger Ereignisse. Dann besagt das Borel-Cantelli-Lemma:

Ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der A_n endlich, so ist die Wahrscheinlichkeit des limes superior der A_n gleich 0. Dies ist der „klassische“ Satz von Borel-Cantelli.

Ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der A_n unendlich und sind die Ereignisse A_n wenigstens paarweise unabhängig, so ist die Wahrscheinlichkeit des limes superior der A_n gleich 1. Diese Erweiterung stammt von Paul Erdös und Alfred Renyi.

Symbolisch: Für

gilt:

1. 
2. und die A_n sind paarweise unabhängig