Cauchyscher Hauptwert

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Hauptwert leitet zu diesem Artikel weiter. Für die Bedeutung des Hauptwertes bei komplexen Logarithmen, siehe Logarithmus.

Als cauchyschen Hauptwert (nach A. L. Cauchy) bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der Analysis den Wert, den man einem divergenten Integral zuordnen kann, wenn sich divergente Teile verschiedenen Vorzeichens gegenseitig aufheben.

[Bearbeiten] Definition

Ist das Integral $\int_a^bf(x)\,\mathrm dx$

uneigentlich an $c \in (a,b)$ , so bezeichnet man den Grenzwert

$\lim_{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\left(\int_a^{c-\epsilon}f(x)\,\mathrm dx+\int_{c+\epsilon}^bf(x)\,\mathrm dx\right)=\operatorname{CH}\int_a^bf(x)\,\mathrm dx$
uneigentlich an $a$ und/oder $b$ , so bezeichnet man den Grenzwert

$\lim_{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\left(\int_{a+\epsilon}^cf(x)\,\mathrm dx+\int_c^{b-\epsilon}f(x)\,\mathrm dx\right)=\operatorname{CH}\int_a^bf(x)\,\mathrm dx$

als den Cauchyschen Hauptwert.

[Bearbeiten] Beispiel

Cauchyscher Hauptwert - Beispiel

Wir betrachten das bestimmte Integral $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x}\,\mathrm dx$ .

Der Integrand ist für $x = 0$ (ein innerer Punkt des Integrationsbereichs $( - 1,1)$ ) nicht definiert. Damit ist dieses Integral uneigentlich an $0$ .

Die Stammfunktion des Integranden $\frac{1}{x}$ ist $\ln\left|x\right|$ (siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen).

$\Rightarrow \int_{-1}^{1} \frac{1}{x}\,\mathrm dx = \int_{-1}^{0} \frac{1}{x}\,\mathrm dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{x}\mathrm dx = \left[ \ln\left|x\right| \right]_{x=-1}^0 + \left[ \ln\left|x\right| \right]_{x=0}^{1}$

${} = \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\ln\left|x\right| - \ln\left|-1\right| + \ln\left|1\right| - \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\ln\left|x\right| = -\infty - \left(-\infty\right)$

Mit dieser Methode kann dem Integral also kein eindeutiger Wert zugeordnet werden, der Cauchysche Hauptwert beträgt jedoch $0$ :

$\operatorname{CH}\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,\mathrm dx=\lim_{\epsilon\rightarrow 0^{+}} \left(\int_{-1}^{0-\epsilon} \frac{1}{x}\,\mathrm dx + \int_{0+\epsilon}^1 \frac{1}{x}\,\mathrm dx\right)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0^{+}}(\ln(\epsilon)-\ln(\epsilon))=0$

Der Cauchy Hauptwert stellt somit eine Erweiterung des Integralbegriffs dar, da das Integral weder als Riemannintegral, noch als Lebesgue-Integral existiert.

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Kategorie: Analysis

Cauchyscher Hauptwert

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