D’Alembertsches Prinzip

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten auf deiner Diskussionsseite.

Das d’Alembertsche Prinzip (nach Jean Baptiste le Rond d'Alembert) bezieht sich auf die Transformation in beschleunigte Bezugssysteme (keine Inertialsysteme). Um die Gültigkeit der physikalischen Gesetze zu erhalten, werden neue Kräfte (Scheinkräfte, Trägheitskräfte) zur Beschreibung im beschleunigten Bezugssystem eingeführt (z. B. Zentrifugal- oder Corioliskraft).

Das Prinzip besagt, dass im dynamischen Gleichgewicht die Summe aller Kräfte verschwindet, wenn die Trägheitskräfte miteinbezogen werden. Es liefert also eine Gleichgewichtsbedingung.

Ein Beispiel ist die (beschleunigte) Fallbewegung im Gravitationsfeld der Erde: Eine frei fallende Person ist in ihrem, in Richtung auf die Erde beschleunigten Bezugssystem kräftefrei; die Gravitationskraft wird durch die Trägheitskraft aufgehoben. Anders ausgedrückt: In einem mit der Erdbeschleunigung beschleunigten Kasten schwebt die Person kräftefrei.

Zur Anwendung kommt das Prinzip in der Lagrange-Formulierung der Klassischen Mechanik. Dort besagt es, dass die Summe aller virtuellen Zwangsarbeiten null ist:

${\sum_{i=1}^N \left( m_i \ddot{\vec{r}}_i - \vec{F}_i \right) \delta \vec{r}_i = 0 .}$

Dabei ist zu beachten, dass nur die Summe verschwindet und nicht jede Komponente.

Schwerpunkt- und Drallsatz stellen zwei vektorielle Differentialgleichungen dar, liefern also im Raum insgesamt sechs skalare Gleichungen. Es handelt sich hierbei um gewöhnliche (im allgemeinen nichtlineare) Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit der Zeit t als unabhängige Variable. Die sechs Gleichungen reichen zur Behandlung eines Systems mit sechs Freiheitsgraden (beispielsweise der im Raum frei bewegliche starre Körper) aus, bei Systemen mit mehr als sechs Freiheitsgraden kommt man aber mit ihnen zunächst nicht mehr durch.

Man weiß, dass man sich die nötige Anzahl an Gleichungen etwa durch Zerlegung des Systems in eine entsprechende Anzahl von Teilen verschaffen könnte, wobei man auf jedes Teilsystem Schwerpunktsatz und Drallsatz anwendet. Für jedes Teilsystem stehen dann sechs Bewegungsgleichungen zur Verfügung. Man sieht sofort,dass dieses Verfahren nur dann zum Ziel führt, wenn die Teilsysteme starre Körper sind, mit anderen Worten, wenn das ursprüngliche System nur eine endliche Anzahl von Freiheitsgraden besitzt. Aber selbst in diesem Falle ist das Verfahren nicht zweckmäßig. Während nämlich weder im Schwerpunktsatz noch im Drallsatz innere Kräfte auftreten, wird ein Teil dieser Kräfte durch das Zerschneiden zu äußeren Kräften, die damit als zusätzliche Unbekannte zu den Lagekoordinaten hinzutreten.

So besitzt beispielsweise ein in der Ebene frei bewegliches System, das aus zwei durch ein Gelenk miteinander verbundenen Stäben besteht, vier Freiheitsgrade, kann also mittels Schwerpunktsatz und Drallsatz nicht direkt behandelt werden, da diese in der Ebene nur insgesamt drei skalare Gleichungen liefern. Schneidet man aber im Gelenk durch, so erhält man zwei starre Körper und damit sechs Gleichungen. Als neue Unbekannte kommen zu den vier Lagekoordinaten (etwa die beiden Koordinaten des Gelenks und die beiden Drehwinkel der Stäbe) die beiden Komponenten der im Gelenk übertragenen Kraft hinzu. Bei komplizierten Systemen wächst die Zahl der durch das Zerschneiden entstehenden zusätzlichen Unbekannten natürlich noch rascher an.

Man stellt sich deshalb die Frage, ein Verfahren zu suchen, das einem, wenn n die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems bedeutet, genau die benötigte Anzahl von $n$ Gleichungen für die $n$ Lagekoordinaten $q i (t), i = 1,2..., n$ , liefert, ohne dass man die weitere Unbekannte hinzunehmen muss.

Man betrachtet ein System mit $n$ Freiheitsgraden, das aus $r$ starren Körpern zusammengesetzt ist, die irgendwie, etwa durch masselose Zwischenglieder (z.B. masselose Federn) verbunden sind. Da der einzelne starre Körper im Raum sechs, bzw. in der Ebene drei Freiheitsgrade besitzt, so gilt im Raum ja $n \le 6r$ und in der Ebene $n \le 3r$ .

Man beschreibt die Bewegung des Systems durch $n$ voneinander unabhängige Lagekoordinaten

$q i (t), i = 1,2..., n$ .

Der Ortsvektor $\vec{r}$ eines beliebigen Systempunkts ist dann eine Funktion

$\vec{r}=\vec{r}(q_1,q_2,q_3,...,q_n,t)$

der Lagekoordinaten sowie unter Umständen auch eine explizite Funktion der Zeit $t$ , nämlich dann, wenn das System längs von Führungen läuft, die selbst nach einem von der Systembewegung unabhängig vorgegebenen Gesetz bewegt werden.

Man denkt sich jetzt einen beliebigen momentanen Bewegungszustand herausgegriffen. Die diesem Bewegungszustand entsprechende Momentanlage denkt man sich festgehalten und erteilt nun diesem System aus dieser Momentanlage heraus eine kleine virtuelle Verschiebung. Diese Verschiebung soll folgende Eigenschaften aufweisen:

Sie soll geometrisch möglich, also mit den Auflagerungs- und Führungsbedingungen und den sonstigen geometrischen Eigenschaften des Systems verträglich (kompatibel) sein.
Die Verschiebungswege sollen, verglichen mit den Körperabmessungen, hinreichend nahe an der Ausgangslage liegen, also klein sein.

Mathematisch gesprochen werden bei einer virtuellen Verschiebung die Ortskoordinaten des Systems bei festgehaltener Zeit t variiert. Die Variation des Ortsvektors $\vec{r}$ , also die virtuelle Verschiebung des betreffenden Systempunkts ist

$\delta\vec{r}=\sum_{i=1}^n \frac{\partial\vec{r}}{\partial q_i}\delta q_i$ .

Für jeden „materiellen“, d. h. massebehafteten Systempunkt gilt das dynamische Grundgesetz $\vec{f}-\varrho \vec{a}=0$ , wobei $\vec{f}$ die Kraftdichte und $\vec{a}$ die Absolutbeschleunigung sind. Somit gilt $(\vec{f}-\varrho\vec{a})\cdot\delta\vec{r}=0$

bei beliebigem $\delta\vec{r}$ . Integriert man jetzt diese Gleichung über das gesamte Volumen $V$ des Systems, dann erhält man

$\int_{V}\mathrm{d}V(\vec{f}-\varrho\vec{a})\cdot\delta\vec{r}=0.$

Überlegt man nun, welche physikalische Interpretation man dieser Gleichung geben könnte, bemerkt man, dass

$\delta\vec{A}=\int_{V} \mathrm{d}V\vec{f}\cdot\delta \vec{r}$

identisch mit der Arbeit, die von sämtlichen am System wirksamen Kräften bei virtueller Verschiebung geleistet wird. Man kann daher $\delta\vec{A}$ sofort in die Arbeit $\delta\vec{A}^i$ der inneren und $\delta\vec{A}^a$ der äußeren Kräfte aufspalten. Dann ergibt sich mit Dichte * infinitesimal kleines Volumen gleich infinitesimal kleine Masse, also

$\varrho \partial\mathrm{d}V=\partial\mathrm{d}m$

als d’Alembertsches Prinzip

$\delta\vec{A}^i+\delta\vec{A}^a-\int_{m} \mathrm{d}m\vec{a}\cdot\delta\vec{r}=0.$

Diese Gleichung gilt noch ganz allgemein auch für Systeme mit unendlich viel Freiheitsgraden. Für die Anwendung wertvoll ist das Prinzip vor allem dann, wenn gewisse Kräftegruppen virtuell leistungslos sind., d.h. bei der virtuellen Verschiebung keine Arbeit leisten. Sie fallen dann aus den Gleichungen überhaupt heraus. Man beachte, dass es dabei gleichgültig ist, ob diese Kräfte bei der wirklichen Bewegung Arbeit leisten oder nicht. Der Unterschied wird deutlich, wenn man etwa das Gleiten eines Körpers längs einer glatten Führung betrachtet, wobei diese Führung selbst wieder nach einem von der Körperbewegung unabhängig vorgegebenen Gesetz bewegt wird, also keinen Freiheitsgrad besitzt. Die am Körper angreifende Reaktionskraft ist nicht leistungslos, da sich der Angriffpunkt bewegt. Sie ist aber virtuell leistungslos, weil die virtuelle Verschiebung bei festgehaltener Zeit vor sich geht, Lageänderungen somit nur dort vorgenommen werden können, wo Freiheitsgrade vorhanden sind. Die Führung muss also dabei stillstehen. Man nennt Führungen, deren Reaktionskräfte leistungslos sind, oft ideale Führungen.

Von „http://de.wikipedia.org../../../d/%E2%80%99/a/D%E2%80%99Alembertsches_Prinzip_cb96.html“

Kategorien: Physik | Klassische Mechanik

D’Alembertsches Prinzip

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Views

Navigation

Mitmachen

Suche

Andere Sprachen