Distanzfunktion
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Distanzfunktionen und Ähnlichkeitsmaße beschreiben den Grad der Übereinstimmung von Vektoren.
In typischen Anwendungen stellen die Vektoren Folgen von Messwerten dar. Ähnlichkeitsmaße werden in Auswertemethoden wie dem Vektorraum-Retrieval und dem Clustering benutzt.
Als Distanzfunktion lassen sich verschiedene Metriken verwenden. Distanzfunktionen werden oft auch unpräzise als Metrik bezeichnet; nicht alle Distanzfunktionen sind jedoch Metriken im streng mathematischen Sinne.
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[Bearbeiten] Häufig verwendete Distanzfunktionen
[Bearbeiten] Lp-Distanz oder Minkowski-Metrik
![L_p(x,y) = \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p}, \quad x,y \in \mathbb{R}^n](../../../math/0/8/9/0899d7776100cedd0cf15a87bea9e1ea.png)
Die nachfolgenden Distanzfunktionen (City-Block-Distanz, Euklidische Distanz und Maximum-Distanz) stellen Spezialfälle der Lp-Distanz da
[Bearbeiten] City-Block-, Taxi- bzw. Manhattan-Distanz
Siehe auch: Normierter Raum Siehe auch: Manhattan-Metrik
[Bearbeiten] Euklidischer Abstand
[Bearbeiten] Maximum- bzw. Tschebyschow-Distanz
[Bearbeiten] Abstand zweier Mengen
Sei (X,d) ein Metrischer Raum.
Weiter seien 
Teilmengen.
Der Abstand zwischen A und B wird definiert als:
Bemerkung:
[Bearbeiten] Mahalanobis-Distanz
[Bearbeiten] Häufig verwendete Ähnlichkeitsmaße
[Bearbeiten] Kosinus-Ähnlichkeitsmaß
Es wird ein Vektorraum über den reellen Zahlen vorausgesetzt.
Die Distanz ist der Kosinus des Winkels α(x,y) zwischen den Vektoren x und y.
Dabei bezeichnet 
die euklidsche Norm.
[Bearbeiten] Dice-Ähnlichkeitsmaß
Dabei ist 
.
[Bearbeiten] Jaccard- (oder Tanimoto)-Ähnlichkeitsmaß
