Dynkin-System

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Ein Dynkin-System $\mathcal{D}$ auf einer nichtleeren Grundmenge $Ω$ bezeichnet in der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ein System von Teilmengen von $Ω$ (ähnlich der σ-Algebra). Es ist benannt nach dem russischen Mathematiker Eugene Dynkin.

[Bearbeiten] Definition

Eine Teilmenge $\mathcal{D} \subset \mathcal{P}(\Omega)$ heißt Dynkin-System, falls sie die folgenden Eigenschaften besitzt:

Die ganze Grundmenge ist im System enthalten:

$\Omega \in \mathcal{D}$ .

Das System ist abgeschlossen bezüglich Komplementbildung:

$A \in \mathcal{D} \implies A^{{\rm c}} \in D$ .

Das System ist abgeschlossen bezüglich abzählbarer, disjunkter Vereinigungen:

$\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset \mathcal{D}$ disjunkt $\implies\bigcup_{n \in\mathbb{N}} A_{n}\in \mathcal{D}$ .

Aus $\Omega \in \mathcal{D}$ und der Abgeschlossenheit bezüglich Komplementbildung folgt somit auch, dass $\varnothing \in \mathcal{D}$ ist.

[Bearbeiten] $\mathcal{D}$ -Operator

Das von einer Menge $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)$ erzeugte Dynkin-System ist:

$\mathcal{D}(\mathcal{E}) := \bigcap_{\mathcal{E} \subset \mathcal{S},\ S\ {\rm Dynkin-System}}\mathcal{S}$ .

$\mathcal{E}$ wird als Erzeuger von $\mathcal{D}(\mathcal{E})$ bezeichnet.

$\mathcal{D}(\mathcal{E})$ ist das kleinste Dynkin-System, welches $\mathcal{E}$ enthält.

[Bearbeiten] Zusammenhang mit σ-Algebra

Jede σ-Algebra ist ein Dynkin-System.
Ein Dynkin-System $\mathcal{D}$ ist genau dann eine σ-Algebra, wenn es durchschnittsstabil ist.
$\forall \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)$ mit $\mathcal{E}$ durchschnittstabil gilt: $\mathcal{D}(\mathcal{E}) = \sigma(\mathcal{E})$ (siehe σ-Operator).

[Bearbeiten] Das Dynkin-System-Argument

Mit Dynkin-Systemen lassen sich in vielen Fällen Aussagen über σ-Algebren relativ einfach beweisen. Sei $α$ eine Aussage, die für Mengen $A \subseteq \Omega$ entweder zutrifft oder nicht. Weiter sei $Σ$ eine σ-Algebra mit einem durchschnittsstabilen Erzeuger $\mathcal{E}$ , für dessen Elemente man $α$ zeigen kann. Betrachte nun das Mengensystem $\mathcal{D} := \{A \in \Sigma : A \text{ erfuellt } \alpha\}$ und zeige, dass es ein Dynkin-System ist. Dann folgt wegen der Durchschnittsstabilität von $\mathcal{E}$ einerseits $\mathcal{D}(\mathcal{E}) = \sigma(\mathcal{E})$ , andererseits gilt aber auch $\mathcal{E} \subset \mathcal{D} \subset \Sigma$ und damit wegen $\Sigma = \sigma(\mathcal{E}) \subset \mathcal{D}(\mathcal{E}) \subset \mathcal{D}$ schon $\Sigma = \mathcal{D}$ . Ein Dynkin-System ist insbesondere deswegen einfacher nachzuweisen, da seine Abgeschlossenheit gegenüber abzählbarer Vereinigung dahingehend verschärft ist, dass die Einzelmengen paarweise disjunkt sein müssen, während dies bei σ-Algebren nicht der Fall zu sein braucht.