Eigenraum
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Eigenraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra. Er bezeichnet den von den Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert eines Endomorphismus aufgespannten Untervektorraum.
[Bearbeiten] Definition
Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und φ ∈ End(V) ein Endomorphismus. E(λ) heißt dann der Eigenraum zum Eigenwert λ von φ.
Man sagt dann auch, 
ist invariant bezüglich des Endomorphismus φ oder 
ist ein φ-invarianter Untervektorraum von V. Die Elemente x von sind dann die Eigenvektoren zum Eigenwert λ von φ. Die Dimension des Eigenraums ist dabei stets ≥ 1 und ≤ der algebraischen Vielfachheit von λ und wird als geometrische Vielfachheit von λ bezeichnet.
Existiert ein Eigenwert λ = 0 von φ, so ist der zugehörige Eigenraum gleich dem Kern von φ. Denn 
und nach Definition des Eigenraumes: 
.
Die Summe von Eigenräumen zu n verschiedenen Eigenwerten λ ist direkt:
Gilt im obigen Fall V = W, so besitzt V eine Basis aus Eigenvektoren. In diesem Fall ist die Matrix A von 
bezüglich einer Basis von V diagonalisierbar, das heißt die Matrix A´ von φ bezüglich der Basis von V aus Eigenvektoren hat Diagonalgestalt. In der Hauptdiagonalen von A´ stehen dann die Eigenwerte λ:
siehe auch:
