Extrapolation

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Unter Extrapolation wird die Bestimmung eines (meist mathematischen) Verhaltens über den gesicherten Bereich hinaus verstanden.

Eine andere Herangehensweise ist die Interpolation, bei der innerhalb des Bereichs gesicherter Werte (ggf. auch gesicherter Erkenntnisse) das Verhalten auch für Fälle beschrieben wird, die nicht untersucht wurden. Meist setzt die Extrapolation eine Interpolation voraus, wie im Falle der Richardson-Extrapolation zur numerischen Differentiation. Hierbei wird durch einige Stützstellen ein Interpolationspolynom gelegt, und dann der Wert des Interpolationspolynoms bei dem zu errechneten Wert berechnet. Dies ist sinnvoll, wenn die einzelnen Berechnungen der Funktionswerte nahe dem Grenzwert immer aufwändiger werden und es somit von der Komplexität her nicht zu vertreten ist, sehr nah an den Grenzwert heranzugehen. Um den Extrapolationsfehler klein zu halten ist es allerdings notwendig, gewisse Kriterien für die Wahl der Stützstellen festzulegen. Dabei zeigt sich, dass der Quotient der aufeinanderfolgenden Abstände der Stützstellen zum Grenzwert einer festen Zahl kleiner 1 ist.

Eine Anwendung dieser Vorgehensweise ist bspw. die Romberg-Integration, zur Berechnung des numerischen Werts eines Integrals.

Eine statistische Extrapolation bezeichnet man auch als Hochrechnung.

[Bearbeiten] Beispiel für Interpolation/Extrapolation

Bekannt sei, dass ein Fahrzeug eine gerade Strecke von 200 Metern in 0,2 Minuten, von 1000m Länge in 1 Minute zurücklegt. Wenn wir daher annehmen, dass das Fahrzeug seine Geschwindigkeit nicht verändert hat, können wir linear interpolieren und berechnen, an welchem Ort sich das Fahrzeug nach 0,5 Minuten befunden hat - nämlich 500 Meter vom Anfangsort entfernt. Nehmen wir an, dass das Fahrzeug seine Geschwindigkeit auch weiterhin nicht ändert, können wir extrapolieren, dass es nach 1,5 Minuten 1500 Meter vom Anfangsort entfernt sein wird. Da wir aber verschiedene Annahmen machen müssen, um das weitere Verhalten über den ursprünglichen Verlauf der Fahrt hinaus zu beschreiben, ist eine Extrapolation immer mit einer größeren Unsicherheit behaftet als eine Interpolation. Wenn das Fahrzeug beispielsweise nach 1000m einfach anhält, stimmt das Ergebnis schon nicht mehr.

[Bearbeiten] Weitere Beispiele für Extrapolation

Rückschluss aus dem bisherigen Wachstum eines Kindes auf die spätere Körpergröße.
Rückschluss aus den an der Erdoberfläche aufgeschlossenen Gesteinen und geologischen Strukturen auf die Lagerung der selben im Untergrund.
Rückschluss aus den heutigen physikalischen/astronomischen Verhältnissen auf den Urknall.
Rückschluss aus den gewichteten vergangenen Werten auf zukünftige Werte, Exponentielle Glättung.
Rückschluss nach dem Gesetz von Charles (1787) und Gay-Lussac (1808) auf den absoluten Nullpunkt von -273,15° C (0 K) (siehe Thermische Zustandsgleichung Idealer Gase).
Prognosen der Bevölkerungsentwicklung über einen sehr langen Zeitraum (z. B. für das Jahr 2100) hinweg, die allein aus Annahmen und ungesicherten Zahlen, die aus der aktuellen Entwicklung gefolgert werden, basieren.