Fluktuations-Dissipations-Theorem

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten auf deiner Diskussionsseite.

In der Statistischen Physik leitet sich das Fluktuations-Dissipations-Theorem aus der Annahme ab, dass die Reaktion eines Systems im thermischen Gleichgewicht auf eine kleine äußere Störung die gleiche ist wie seine Reaktion auf spontane Fluktuationen. Dies kann genutzt werden, um eine explizite Beziehung herzustellen zwischen Molekulardynamik im thermischen Gleichgewicht und der makroskopischen Reaktion, die in dynamischen Messungen beobachtet werden kann. Dadurch erlaubt das Fluktuations-Dissipations-Theorem, mikroskopische Modelle zu benutzen, um quantitative Vorhersagen über Materialeigenschaften zu machen.

In seiner ursprünglichen Form besagt das Fluktuations-Dissipations-Theorem, dass die Reibung eines in einem Lösungsmittel suspendierten Teilchens in direktem Zusammenhang mit den von den Flüssigkeitsmolekülen hervorgerufenen Teilchen-Fluktuationen stehen.

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Einstein-Relation

Einstein merkte 1905 in seiner Veröffentlichung zur Brownschen Molekularbewegung an, dass dieselben zufälligen Kräfte, die die ziellose Bewegung eines Teilchens aufgrund der Brownschen Bewegung bewirken, einen Widerstand hervorrufen, wenn das Teilchen durch die Flüssigkeit gezogen wird. Anders gesagt: Die Fluktuationen des eigentlich in Ruhe befindlichen Teilchens haben denselben Ursprung wie die dissipative Reibungskraft, gegen die man arbeiten muss, wenn man das Teilchen in eine bestimmte Richtung zieht.

Aufgrund dieser Beobachtung war es ihm möglich, mithilfe der Statistischen Mechanik eine unerwartete Beziehung herzuleiten, die Einstein-Smoluchowski-Beziehung:

$D = \mu \, k_B T$

Sie verknüpft die Diffusionskonstante D (entsprechend der fluktuierenden Kraft) mit der Mobilität µ der Teilchen (entsprechend der Dissipation). Hierbei ist µ das Verhältnis der Endgeschwindigkeit v_d, die das Teilchen unter der Wirkung einer äußeren Kraft F erreicht, μ = v_d / F, k_B ist die Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur.

[Bearbeiten] Langevin-Gleichung

Für die fluktuierende Kraft n(t) in einer Langevin-Gleichung gilt:

$<n(t)n(t')> = \frac{2 k_B T}{\mu}\delta(t-t')$ .

[Bearbeiten] Thermisches Rauschen in einem Widerstand

Fließt bei einem Widerstand kein Strom, so gilt

$\langle V^2 \rangle = 4Rk_BT\Delta\nu$

Hierbei ist V die Spannung, R der Widerstand und $Δν$ die Bandbreite, über die die Spannung gemessen wird. Dieses Johnson–Nyquist Rauschen wurde 1928 von John B. Johnson entdeckt und von Harry Nyquist erklärt.