Formelsammlung Stochastik

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Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
2 Binomialverteilung
3 Näherungsformeln von Moivre und Laplace
- 3.1 Wahrscheinlichkeitsberechnung mit Hilfe der Gaussschen Integralfunktion
4 Hypergeometrische Verteilung
- 4.1 Erwartungswert bei hypergeometrische verteilten Zufallsgrößen
5 Geometrische Verteilung
- 5.1 Erwartungswert einer geometrischen Verteilung
6 Stetige Zufallsgrößen - Normalverteilung
- 6.1 Erwartungswert und Varianz bei stetigen Zufallsgrößen
7 Weblinks

[Bearbeiten] Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

[Bearbeiten] Fakultät

n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 3 * 2 * 1

[Bearbeiten] Binomialkoeffizient

${n \choose k} = {n! \over k!(n-k)!}$

[Bearbeiten] Möglichkeiten beim Ziehen

Anzahl der Möglichkeiten beim Ziehen von k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln

	Ziehen mit Zurücklegen	Ziehen ohne Zurücklegen
mit Beachtung der Reihenfolge	$n k$	${n! \over (n-k)!}$
ohne Beachtung der Reihenfolge	$\left( \begin{matrix} n+k-1\\ k \end{matrix} \right)$	$\left( \begin{matrix} n\\ k \end{matrix} \right)$

[Bearbeiten] Binomialverteilung

Gegeben ist n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und der Misserfolgswahscheinlichkeit q=1-p. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge heißt Binomialverteilung.

Die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge berechnet sich nach der Formel:

$P(k) = \left( \begin{matrix} n\\ k \end{matrix} \right) \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

[Bearbeiten] Erwartungswert bei einer Binomialverteilung

Für den Erwartungswert $μ$ der Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge gilt:

$\mu=n \cdot p$

[Bearbeiten] Varianz und Standardabweichung bei Binomialverteilungen

Die Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge hat die Varianz

$V(X) = n \cdot p \cdot q$

und die Standardabweichung

$\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$

[Bearbeiten] σ-Regeln

(Wahrscheinlichkeiten von Umgebungen des Erwartungswertes bei Binomialverteilungen) Zwischen dem Radius einer Umgebung um den Erwartungswert und der zugehörigen Wahrscheinlichkeit der Umgebung gelten folgende Zuordnungen ( falls σ>3):

Radius der Umgebung	Wahrscheinlichkeit der Umgebung
1σ	0,68
2σ	0,955
3σ	0,997

Wahrscheinlichkeit der Umgebung	Radius der Umgebung
0,90	1,64σ
0,95	1,96σ
0,99	2,58σ

[Bearbeiten] Standardisieren einer Verteilung

1. Schritt:

Verschiebe das Histogram so, dass der Erwartungswert μ an der Stelle z = 0 des (neuen) Koordinatensystems liegt.

2. Schritt:

Wähle die Breite der Rechtecke gleich 1/σ, sodass auf der 1. Achse die Einheiten -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 anstelle der Abschnitte μ-3σ, μ-2σ, μ-1σ, μ, μ+1σ, μ+2σ,μ +3σ treten.

3. Schritt:

Das Stauchen der Rechtecke in Richtung der 1. Achse wird dadurch ausgeglichen, dass auf der 2. Achse nicht mehr die Wahrscheinlichkeiten P(X=k) abgetragen werden, sondern die mit der Standardabweichung σ vervielfachten Wahrscheinlichkeiten.

[Bearbeiten] Poisson-Näherung einer Binomialverteilung

Gegeben sei eine Binomialverteilung mit großem Stichprobenumfang n=>100 und kleiner Erfolgswahrscheinlichkeit p<=0,1. Mithilfe von μ = n*p kann man dann näherungsweise die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge berechnen:

$P(X=0) \approx e^{- \mu}$

$P(X=k) \approx { \mu \over k} \cdot P(X=k-1)$

Die Beziehungen lassen sich zusammenfassen zu:

$P(X=k) \approx { \mu ^k \over k!} \cdot e^{- \mu}$

[Bearbeiten] Poisson-Verteilung

Gilt für die Verteilung einer Zufallsgröße X

$P(X=k) = { \mu ^k \over k!} \cdot e^{- \mu}$

[Bearbeiten] Näherungsformeln von Moivre und Laplace

Sei X eine binomialverteilte Zufallsgröße mit σ>4 (brauchbare Näherung besser σ>9). Die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge lässt sich näherungsweise berechnen durch:

$P(X=k) \approx {1 \over \sigma}*\varphi \left({k-\mu \over \sigma}\right)$

Die Wahrscheinlichkeit für höchstens oder gleich k Erfolge berechnet sich dann wie folgt:

$P(X<=k) = F(X) \approx \varphi \left({k-\mu \over \sigma}\right)$

[Bearbeiten] Wahrscheinlichkeitsberechnung mit Hilfe der Gaussschen Integralfunktion

Gausssche Dichtefunktion φ (auch als Glockenkurve bekannt)

$f(x) = {1 \over \sqrt{2 \pi}}\, {\rm e}^\frac{-x^2}{2}$

Gausssche Integralfunktion Φ

$\Phi(z) = \int\limits_{-\infty}^{z} \varphi (t)$

Näherungsformel für genau k Erfolge:

$P(X=k) \approx \Phi \left( {k+0,5-\mu \over \sigma}\right) - \Phi \left( {k-0,5-\mu \over \sigma}\right)$

Die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Erfolge lässt sich näherungsweise berechnen durch:

$P(X\le k) \approx \Phi \left( {k+0,5-\mu \over \sigma}\right)$

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens a, höchstens b Erfolge lässt sich näherungsweise berechnen durch:

$P(a\le X\le b) \approx \Phi \left( {b+0,5-\mu \over \sigma}\right) - \Phi \left( {a-0,5-\mu \over \sigma}\right)$

[Bearbeiten] Hypergeometrische Verteilung

In einer Grundgesamtheit vom Umfang N seien zwei Merkmalsausprägungen vom Umfang K bzw. N-K vertreten. Eine Stichprobe vom Umfang n werde genommen. Dann nennt man die Verteilung der Zufallsgröße: X: Anzahl der Exemplare der 1. Merkmalsausprägung in der Stichprobe einer hypergeometrische Verteilung. Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe vom Umfang n genau k Exemplare der 1. Merkmalsausprägung sind, ist:

$P(X=k) = { \left( \begin{matrix} K\\ k \end{matrix} \right)* \left( \begin{matrix} N-K\\ n-k \end{matrix} \right) \over \left( \begin{matrix} N\\ n \end{matrix} \right)}$

N -> Anzahl der Elemente, K -> Anzahl der positiven Elemente, n -> Anzahl der Ziehungen, k -> Anzahl der Erfolge.

[Bearbeiten] Erwartungswert bei hypergeometrische verteilten Zufallsgrößen

Sei X eine hypergeometrisch verteilte Zufallsgröße und p = K/N der Anteil, mit dem die 1. Merkmalsausprägung in der Gesamtheit vorkommt, dann gilt für den Erwartungswert:

$\mu = E(X) = n*p = n*{K \over N}$

[Bearbeiten] Geometrische Verteilung

Gegeben ist ein Bernoulli-Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Die Verteilung der Zufallsgröße W: Anzahl der Stufen bis zum ersten Erfolg heißt geometrische Verteilung. Es gilt:

P (W = k) = p * q k - 1

(Erfolg genau beim k-ten Versuch)

P (W > k) = q k

(k Misserfolge hintereinander bzw. der erste Erfolg kommt erst nach dem k-ten Versuch)

$P(W\le k)=1-q^{k}$ (Erfolg spätestens beim k-ten Versuch bzw. bis zum kten. Versuch tritt mindestens ein Erfolg ein)

[Bearbeiten] Erwartungswert einer geometrischen Verteilung

Für den Erwartungswert der Zufallsgröße W: Anzahl der Stufen bis zum ersten Auftreten eines Erfolges gilt:

$E(W) = {1 \over p}$

[Bearbeiten] Stetige Zufallsgrößen - Normalverteilung

Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße: Eine Funktion f heißt Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße X, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

(1) Für alle $x \epsilon \mathbb{R}$ gilt $f(x) \ge 0$