Benutzer:Frank Thomas

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evtl. Ergänzung zu Elektromagnetischer Feldstärketensor:

[Bearbeiten] Ableitung der Maxwell-Gleichungen im Lagrange-Formalismus

[Bearbeiten] Inhomogene Maxwell-Gleichungen

Mit dem elektromagnetischen Feldtensor und der Viererstromdichte $j μ$ kann die Lagrange-Dichte des freien Maxwell-Feldes geschrieben werden als

$\mathcal{L} := -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}(x) F^{\mu\nu}(x) - j_{\mu}(x) A^{\mu}(x) \ .$

Mit dieser Lagrange-Dichte können die inhomogenen Maxwell-Gleichungen als Euler-Lagrange-Gleichungen hergeleitet werden. Die Euler-Lagrange Gleichung für Felder ist

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\nu}} - \partial_{\mu} \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu} A_{\nu})}\right) = 0 \ .$

Die Ableitung nach dem Viererpotential ist

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\nu}} = \frac{\partial}{\partial A_{\nu}} \left(- j_{\mu} A^{\mu} \right) = \frac{\partial}{\partial A_{\nu}} \left(- j_{\mu} g^{\mu\nu} A_{\nu} \right) = -j^{\nu} \ .$

Um die Ableitung nach $\partial_{\mu} A_{\nu}$ auszuführen, ist es sinnvoll den ersten Teil der Lagrange-Dichte umzuschreiben in

$\begin{align} -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} & = -\frac{1}{4} \left(\partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu}\right) \left(\partial^{\mu} A^{\nu} - \partial^{\nu} A^{\mu}\right) \\ & = -\frac{1}{4} \left(\partial_{\mu} A_{\nu} \partial^{\mu} A^{\nu} - \partial_{\mu} A_{\nu} \partial^{\nu} A^{\mu} - \partial_{\nu} A_{\mu} \partial^{\mu} A^{\nu} + \partial_{\nu} A_{\mu} \partial^{\nu} A^{\mu}\right) \\ & = -\frac{1}{2} \left(\partial_{\mu} A_{\nu} \partial^{\mu} A^{\nu} - \partial_{\mu} A_{\nu} \partial^{\nu} A^{\mu}\right) \\ & = -\frac{1}{2} \left(\partial_{\mu} A_{\nu} g^{\mu\sigma} g^{\nu\tau} \partial_{\sigma} A_{\tau} - \partial_{\mu} A_{\nu} g^{\nu\sigma} g^{\mu\tau} \partial_{\sigma} A_{\tau} \right) \ . \end{align}$

Die Ableitung kann nun direkt ausgeführt werden, wobei zu beachten ist, dass sie nur dann von Null verschieden ist, wenn die Indices $σ$ und $μ$ bzw. $τ$ und $ν$ gleich sind.

$\begin{align} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\partial_{\mu} A_{\nu} \right)} & = -\frac{1}{2} \left(g^{\mu\sigma} g^{\nu\tau} \partial_{\sigma} A_{\tau} + \partial_{\mu} A_{\nu} g^{\mu\sigma} g^{\nu\tau} \delta_{\sigma}^{\mu} \delta_{\tau}^{\nu} - g^{\nu\sigma} g^{\mu\tau} \partial_{\sigma} A_{\tau} - \partial_{\mu} A_{\nu} g^{\nu\sigma} g^{\mu\tau} \delta_{\sigma}^{\mu} \delta_{\tau}^{\nu} \right) \\ & = -\frac{1}{2} \left(\partial^{\mu} A^{\nu} + \partial^{\sigma} A^{\tau} \delta_{\sigma}^{\mu} \delta_{\tau}^{\nu} - \partial^{\nu} A^{\mu} - \partial^{\tau} A^{\sigma} \delta_{\sigma}^{\mu} \delta_{\tau}^{\nu} \right) \\ & = -\frac{1}{2} \left(\partial^{\mu} A^{\nu} + \partial^{\mu} A^{\nu} - \partial^{\nu} A^{\mu} - \partial^{\nu} A^{\mu} \right) \\ & = - \left(\partial^{\mu} A^{\nu} - \partial^{\nu} A^{\mu}\right) = - F^{\mu\nu} \end{align}$

Setzt man diese Ergebnisse in die Euler-Lagrange-Gleichung ein, so erhält man

$-j^{\nu} + \partial_{\mu} F^{\mu\nu} = 0 \ .$

Mit der Definition von $j μ$ und $F μν$ verifiziert man, dass dieser Ausdruck identisch mit den inhomogenen Maxwell-Gleichungen ist.

[Bearbeiten] Homogene Maxwell-Gleichungen

$\mathcal{L} := -\frac{1}{4} \mathcal{F}_{\mu\nu}(x) \mathcal{F}^{\mu\nu}(x) = -\frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} \epsilon_{\mu\nu\sigma\tau} F^{\sigma\tau} \frac{1}{2} \epsilon^{\mu\nu\sigma\tau} F_{\sigma\tau} \right) = -\frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} \epsilon_{\mu\nu\sigma\tau} g^{\sigma\alpha} g^{\tau\beta} F_{\alpha\beta} \frac{1}{2} \epsilon^{\mu\nu\sigma\tau} F_{\sigma\tau} \right)$

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