Diskussion:Fundamentalsatz der Arithmetik
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Ehrlich gesagt habe ich den Beweis noch nicht ganz verstanden. Kann ihn jemand für mich konkretisieren? Stern !? 18:56, 22. Aug 2004 (CEST)mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Danke, das war die Lücke, die mir fehlte, um den Beweis zu vervollständigen.
Ich bekomme ihn formal jetzt nicht auf die Reihe, aber der geht ungefähr so:
Wir haben die Zahl n. Ist n prim, ist n allein selbst die Zerlegung. Sonst gibt es zwei Zahlen n1 und n2 beide mit 1<n1<n und 1<n2<n, so dass n1*n2=n Mit n1 und n2 verfährt man weiter wie mit n.
Im Prinzip kann der Beweis so geführt werden. Zahlen n1, n2 mit n1*n2 = n gibt es, da es einen Teiler 1 < t < n von n geben muss (n ist nicht prim). Mit t=n1 und n2=n/t hat man Zahlen mit dieser Eigenschaft gefunden. n1, n2 sind mindestens um einen Faktor 2 kleiner als n. Falls n b Bit besitzt hat man eine Zerlegung in höchsten b Schritten gefunden.
Die Eindeutigkeit der Lösung ist nicht so trivial zu beweisen. Franz Scheerer
Anmerkung:
Dies gilt nur für Zusammengesetzte Zahlen.
Eine Primzahl ist nicht zerlegbar, da sie sonst nicht eindeutig zerlegbar wäre. (1 mal 1 mal 1 mal p).
Nein, die Zerlegung besteht nur aus Primzahlen (Die 1 ist keine Primzahl !). Für eine Primzahl besteht die triviale Zerlegung nur aus einem Faktor, der Primzahl selbst (p = p und nichts weiter).
Einen Faktor 1 könnte man natürlich immer anfügen, so dass die Zerlegung mit der 1 generell nicht eindeutig wäre.
--MaxP0W3R 01:25, 29. Jul 2005 (CEST)
- Das ist keine Primfaktorzerlegung, da 1 keine Primzahl ist. Die Primfaktorzerlegung einer Primzahl ist ein Produkt mit genau einem Faktor, nämlich der Primzahl selbst. Die Primfaktorzerlegung von 1 ist das leere Produkt (mit gar keinem Faktor), das definitionsgemäß gleich dem neutralen Element der Multiplikation ist. 80.81.1.63 18:27, 29. Jul 2005 (CEST)
Zunächst können nur Zahlen größer eins in Primfaktoren zerlegt werden. Um eine eindeutige Zerlegung oder besser Darstellung aller Brüche zu erhalten ist es aber sinnvoll für die 1 und 0 als "Zerlegung" dies Zahl selbst zu definieren. Für negative Zahlen wird das Minuszeichen vorangestellt. Da die Zerlegung eindeutig ist erhält man durch kürzen aller gemeinsamen Faktoren in Zähler und Nenner eine eindeutige Darstellung aller Brüche.
[Bearbeiten] Gaußscher Beweis
Äh, irgendwie erkenne ich jetzt nicht, wo überhaupt der Gaußsche Beweis hier angegeben ist. Hier ist nur auf den Analogieschluß zu David Hilberts Beispiel verwiesen. Zum besseren Verständnis wäre es notwendig wenigstens einen Link auf den Gaußschen Beweis zu bringen.--Löschfix 22:48:00, 23. Aug 2005 (CEST)
[Bearbeiten] Übertragung auf Hilberts Teilzahlen H
Genau den Punkt verstehe ich nicht so unmittelbar: Wieso wäre ein rein multiplikativer Eindeutigkeitssatz für 
bereits ein eben solcher für H?--JFKCom 22:28, 25. Nov 2005 (CET)
[Bearbeiten] In H geleten bzgl. Multiplikation die gleichen Rechenregeln
Mit H werden hier die natürlichen Zahlen mit
x mod 3 = 1
bezeichnet. Multipliziert man zwei Zahlen x,y aus H erhält man wieder eine Zahl aus H.
(3x+1)*(3y+1) = 9xy + 3x + 3y +1 = 3 (3xy + x + y) + 1
H enthält auch das neutrale Element der Multiplikation e=1 mit x*e = e*x = x für alle x aus H. Selbstverständlich gilt auch das Kummunikativgesetz x*y = y*x und das Assoziativgesetz (xy)z=x(yz).
Da für die Multiplikation in H also die gleichen Gesetze gelten, könnte man einen Beweis in den natürlichen Zahlen, der nur die Multiplikation verwendet, genau so auch in H anwenden. Da in H die Zerlegung in "H-Primzahlen" jedoch nicht eindeutig ist (25*4 = 10*10) wäre an einem solchen Beweis wohl etwa faul.
