Fundamentallösung
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Eine Fundamentallösung ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Mit Hilfe einer Fundamentallösung kann man spezielle Lösungen für diese Gleichungen konstruieren.
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[Bearbeiten] Mathematische Definition
Falls L ein linearer Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten ist, dann ist eine Fundamentallösung G(x) definiert als distributionelle Lösung von
LG(x) = δ(x)
Hier ist δ(x) die Dirac'sche Delta-Distribution.
[Bearbeiten] Anwendung
Falls eine Fundamentallösung G bekannt ist, erhält man eine Lösung der Gleichung Lu(x) = f(x) durch Faltung:
[Bearbeiten] Theorie
Für viele Differentialgleichungen ist eine Fundamentallösung bekannt, etwa die Poisson-Gleichung, die Wärmeleitungsgleichung, die Wellengleichung und die Helmholtz-Gleichung. Allgemein gilt der Satz von Ehrenpreis-Malgrange, wonach jede partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten eine Fundamentallösung besitzt.
