Gâteaux-Differential

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Das Gâteaux-Differential, benannt nach René Gâteaux (1889-1914), stellt eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Differentiationsbegriffes dar. Gewöhnlich hat man für eine Funktion $f:G \to \mathbb{R}, G \in \mathbb{R}^n$ offene Menge, die an der Stelle $x_0 \in G$ differenzierbar ist, als Definition der (partiellen) Ableitung $\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_i} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_{0,1},x_{0,2},\ldots,x_{0,i}+h,\ldots,x_{0,n})-f(x_0)}{h}\ (i={1,2,...,n})$ . Insbesondere ergibt sich für $n = 1$ das bekannte $\frac{\mathrm{d}f(x_0)}{\mathrm{d}x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ .

Inhaltsverzeichnis

1 Definitionen
2 Eigenschaften
- 2.1 Homogenität
- 2.2 Nichtlinearität
3 Beispiele
4 Anwendungen

[Bearbeiten] Definitionen

[Bearbeiten] 1. Variation

Sei nun für das Gâteaux-Differential folgende Situation gegeben: $f: D(f) \to \mathbb{R}, D(f) \in \Omega$ offen, $Ω$ linearer normierter Raum (d.h. Vektorraum, versehen mit einer Norm $\|\cdot\|$ ), $x_0 \in D(f), v \in \Omega$ (also v ein Vektor).

Dann ist das Gâteaux-Differential an der Stelle $x 0$ , falls es dort existiert, definiert durch $\delta f(x_0,v) =\lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t} = \frac{\mathrm{d}f(x_0+tv)}{\mathrm{d}t}$ (eingeschränkt auf $t = 0$ ) oder auch für $x_1 \in D(f)$ durch $\delta f(x_0,x_1-x_0) =\lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+t(x_1-x_0))-f(x_0)}{t}$ Man beachte dabei $x_0 \in D(f)$ , $v \in \Omega$ , aber $t \in \mathbb{R}$ . Das Gâteaux-Differential wird auch 1. Variation von $f$ an der Stelle $x 0$ genannt.

[Bearbeiten] 2. Variation

$\delta^2 f(x_0,v) =\frac{\mathrm{d}^2 f(x_0+tv)}{\mathrm{d}t^2}$ (eingeschränkt auf $t = 0$ )

[Bearbeiten] Richtungsdifferential

Unter denselben Voraussetzungen wie oben ist das einseitige Gâteaux-Differential definiert: $\delta_+ f(x_0,v) =\lim_{t \to 0^+} \frac{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t}$ bzw. $\delta_- f(x_0,v) =\lim_{t \to 0^-} \frac{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t}$ Das einseitige Gâteaux-Differential wird auch Richtungsdifferential von $f$ an der Stelle $x 0$ genannt. Im Spezialfall $\|v\|=1$ ist das einseitige Gâteaux-Differential gerade die Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v$ an der Stelle $x 0$ .

[Bearbeiten] Gâteaux-Ableitung

Ist $δ f (x 0, v)$ ein in $v$ stetiges, lineares Funktional (d.h. die Funktion vermittelt durch $v \mapsto f(x_0,v)$ ist homogen, additiv und stetig im Argument $v$ ), dann heißt $f'(x 0)$ Gâteaux-Ableitung an der Stelle $x 0$ . und $f$ Gâteaux-differenzierbar in $x 0$ .

[Bearbeiten] Eigenschaften

[Bearbeiten] Homogenität

$\delta f(x_0,k\cdot v)=k\cdot \delta f(x_0,v)$ für alle $k \in \mathbb{R}$

Die Eigenschaft gilt analog für das einseitige Gâteaux-Differential.

Beweis: $\delta f(x_0,k\cdot v)=\lim_{t\to 0} \frac{f(x_0+ktv)-f(x_0)}{t} =\lim_{t\to 0} \frac{k\cdot (f(x_0+ktv)-f(x_0))}{k\cdot t}$ (nun nennen wir $s:=k\cdot t$ ) $=\lim_{s\to 0} k\cdot \frac{f(x_0+sv)-f(x_0)}{s} =k\cdot \left(\lim_{s\to 0} \frac{f(x_0+sv)-f(x_0)}{s}\right)$ (und nun wieder $t = s$ ) $=k\cdot \lim_{t\to 0} \frac{f(x_0+tv)-f(x_0)}{t} =k\cdot \delta f(x_0,v)$

[Bearbeiten] Nichtlinearität

Im allgemeinen Fall gilt $\delta f(x_0,v)+\delta f(x_0,w)\ne \delta f(x_0,v+w)$ .

Gegenbeispiel für Linearität: $f (x) = sin(x 1)$ , wobei $x = (x 1,..., x n)$ , $v = (v 1,..., v n)$ mit $v_1\ne 0$ , dann ist $\delta f(0,v)=\lim_{t\to 0} \frac{\sin(0+t\cdot v_1)-\sin(0)}{t} = 1$ wobei benutzt wird $\lim_{s \to 0} \frac{\sin(s)}{s} = 1$ , insgesamt ergibt sich $\delta f(0,v)+\delta f(0,w)=1+1\ne 1=\delta f(0,v+w)$

[Bearbeiten] Beispiele

$f (x 1, x 2) = 1$ , falls $x_2=x_1^2$ , $x_1\ne 0$ bzw $0$ sonst $\delta f((0,0),v)=\lim_{t\to 0} \frac{0-0}{t}=0$ .
$f(x)=|x|,\ x \in \mathbb{R}^n$ $\delta_+ f(0,v)=\lim_{t \to 0^+}\frac{|0+tv|-0}{t}=|v|$
$f(x_1,x_2)= x_1^2 \left(1+\frac{1}{x_2}\right)$ für $x_2\ne 0$ und $-\frac{x_1^2}{x_2^2}$ für $x 2 = 0$ , $\nabla f(x_1,x_2)=\left( 2\cdot x_1 \cdot\left(1+\frac{1}{x_2}\right),-\frac{x_1^2}{x_2^2}\right)^T$

$\delta f((0,0),v)=\lim_{t\to 0}\frac{(t\cdot v_1)^2\cdot\left(1+\frac{1}{t}\cdot v_1\right)}{t}=\frac{v_1^2}{v_2}$ (wobei $v = (v 1, v 2) T$ )

[Bearbeiten] Anwendungen

Wie die gewöhnliche Ableitung ist das Gâteaux-Differential zum Bestimmen von Extrema und daher in der Optimierung von Nutzen. Sei $f: X \to \mathbb{R},\ X \in D(f) \in \Omega$ offen, $Ω$ linearer normierter Raum, $x_0 \in \operatorname{int}(X)$ (das Innere der Menge $X$ ), $\operatorname{int}(X) \ne \emptyset$ und $B_\varepsilon(x_0)$ der offene Ball um $x 0$ mit Radius $\varepsilon$ . Notwendige Optimalitätsbedingung: Sei $x 0$ ein lokales Minimum von $f$ auf $X$ , dann ist $\delta_+ f(x_0,v)\geq 0\ \forall v \in \Omega$ , falls das einseitige Gâteaux-Differential in $x 0$ existiert. Hinreichende Optimalitätsbedingung: $f$ besitze in $B_\varepsilon (x_0)$ eine 2. Variation $\forall v \in \Omega$ und $\forall x \in B_\varepsilon (x_0)$ . Falls gilt $\delta^2 f(x_0,v)=0\ \forall v \in \Omega$ und für ein $c > 0$ $\delta^2 f(x_0,v)\geq c\cdot\|v\|^2\ \forall v \in \Omega$ und $\forall x \in B_\varepsilon (x_0)$ , dann ist $x 0$ strenge lokale Minimalstelle von $f$ auf $\operatorname{int}(X)$ .