Ganzheit (kommutative Algebra)
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Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra ist Ganzheit eine leichte Abwandlung des Begriffes eines algebraischen Elementes, die aber wesentlich andere Eigenschaften bewirkt.
Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.
[Bearbeiten] Definition
Es sei A ein Ring und B eine A-Algebra. Dann heißt ein Element 
ganz über A, wenn es ein normiertes Polynom
![p=X^n+c_{n-1}X^{n-1}+\ldots+c_1X+c_0\in A[X]](../../../math/b/8/7/b87c961d9679e6a9e1f098081357fed5.png)
gibt, so dass
gilt.
B heißt ganz über A, wenn jedes Element von B ganz über A ist. Ist insbesondere 
, so spricht man von einer ganzen Ringerweiterung.
Für eine beliebige A-Algebra B heißt die Menge der über A ganzen Elemente von B der ganze Abschluss von A in B.
[Bearbeiten] Eigenschaften
- Der ganze Abschluss von A in B ist eine A-Unteralgebra von B.
- Eine A-Algebra B ist genau dann endlich, wenn sie endlich erzeugt und ganz ist.
[Bearbeiten] Beispiele
- Ist
und 
, so ist der ganze Abschluss von A in B gleich
-
- Siehe Ganzheitsring
![\mathbb Z\!\left[\frac{1+\sqrt5}2\right].](../../../math/f/6/3/f632f6672eab286873f00dfeea28628f.png)
