Graßmann-Dimension
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Die Graßmann-Dimension ist ein Begriff aus der supersymmetrischen Quantenfeldtheorie. Nach Hermann Graßmann benannt. Als der Theorie zugrundeliegender Raum (bzw. als linearer Modellraum der gekrümmten Mannigfaltigkeit) wird nicht ein reeller Vektorraum, sondern eine (möglicherweise unendlichdimensionale) Clifford-Algebra betrachtet. Im kopplungsfreien Grenzfall deformiert die Clifford-Algebra zu einer Graßmann-Algebra.
Dabei wird in physikalischen Anwendungen der Grad der Elemente halbiert, so dass der niedrigste Grad 1/2 ist. Elemente vom Grad 1 sind dann raum-zeit-artig und kommutieren in der Graßmann-Algebra, wie alle anderen ganzgradigen Elemente, Elemente vom Grad 1/2 und weiteren ungeraden Graden antikommutieren.
Als Graßmann-Dimensionen werden jene Dimensionen bezeichnet, die in der Raumzeit neben denen, die sich unserer Erfahrung erschließen, zusätzlich in der Theorie postuliert werden. Sie werden als Graßmann-Dimensionen bezeichnet, weil die zugehörigen Koordinaten keine gewöhnlichen Zahlen, sondern Graßmann-Variablen sind. Gewöhnliche Zahlen sind kommutativ, man kann sie also in beliebiger Reihenfolge multiplizieren: (a * b = b * a). Hingegen sind Grassmann-Variablen antikommutativ (wie das vektorielle Kreuzprodukt): x * y = − y * x
Siehe auch: "Sigma-Modell", "Nichtkommunative Geometrie", "Supersymmetrie"
