Benutzer:Gunther/Tensorprodukt
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Zu einem Modul M über einem kommutativen Ring R mit Einselement (also insbesondere auch zu einem Vektorraum über einem Körper) kann man die so genannte Tensoralgebra
bilden. Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das Tensorprodukt gegeben ist, bildet sie eine graduierte, assoziative, jedoch nicht kommutative R-Algebra.
[Bearbeiten] Verwandte Konstruktionen
=== Graßmann-Algebra
- Graßmann-Algebra oder äußere Algebra: Die äußere Algebra
-
- ist der Quotient der Tensoralgebra nach dem zweiseitigen Ideal, das von allen Elementen der Form
- für Elemente a von M erzeugt wird. Die Multiplikation wird
- geschrieben, und es gilt
- für homogene Elemente a, b. Die graduierten Bestandteile heißen auch k-te äußere Potenzen
- von M.
- Die symmetrische Algebra
-
- ist der Quotient der Tensoralgebra nach den zweiseitigen Ideal, das von allen Elementen der Form
- für Elemente a,b von M erzeugt wird. Die Multiplikation wird durch Nebeneinanderschreiben oder einen Punkt symbolisiert. SM ist eine kommutative R-Algebra. Die graduierten Bestandteile heißen auch k-te symmetrische Potenzen SkM von M.
[Bearbeiten] Beispiele
Ist M ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K, so ist TM isomorph zum Ring der nichtkommutativen Polynome in n Unbestimmten über K, die äußere Algebra über M ist eine 2n-dimensionale K-Algebra (die Dimension in Grad k ist 
), und die symmetrische Algebra SM ist isomorph zu einem gewöhnlichen Polynomring in n Unbestimmten über K.
