Hopf-Algebra

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Hopfalgebra

berührt die Spezialgebiete

Mathematik

ist Spezialfall von

Bialgebra

Eine Hopf-Algebra – benannt nach dem Mathematiker Heinz Hopf – $H$ über einem Körper $\mathbb{K}$ ist eine Bialgebra $(H,\nabla,\eta,\Delta,\epsilon)$ mit einer $\mathbb{K}$ -linearen Abbildung, der sog. Antipode, $S\colon H\to H$ , so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Formal in der Sweedler-Notation - benannt nach Moss Sweedler - geschrieben heißt das: $S\left(c_{\left(1\right)}\right)c_{\left(2\right)}=c_{\left(1\right)}S\left(c_{\left(2\right)}\right)=\epsilon\left(c\right)1.$

Inhaltsverzeichnis

1 Faltung und Antipode
2 Beispiele
- 2.1 Gruppenalgebra
- 2.2 Universelle einhüllende Algebra
3 Gruppenartige und primitive Elemente
4 Literatur

[Bearbeiten] Faltung und Antipode

Sei $A$ eine Algebra und $C$ eine Koalgebra. Die $\mathbb K$ -linearen Abbildungen von $C$ nach $A$ bilden eine Algebra mit Produkt $*$ , genannt Faltung, definiert durch

(f * g)(x): = f (x (1)) g (x (2))

Das neutrale Element in dieser Algebra ist $\eta \circ \epsilon$ , denn

$(f*(\eta \circ \epsilon))(x) = f(x_{(1)})\eta(\epsilon(x_{(2)})) = f(x_{(1)}\epsilon(x_{(2)}))\eta(1) = f(x)$

und entsprechend auch

$((\eta \circ \epsilon)*f)(x) = f(x)$ .

Für eine Bialgebra $H$ bilden die $\mathbb K$ -linearen Abbildungen von $H$ nach $H$ auf diese Weise eine Algebra. Die Antipode $S$ ist das zur identitischen Abbildung inverse Element in dieser Algebra. Das heißt

$S*\mathrm{id} = \eta\circ\epsilon = \mathrm{id}*S$ .

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Gruppenalgebra

Ein einfaches Beispiel für eine Hopf-Algebra ist die Gruppenalgebra $\mathbb K G$ . Sie wird durch

$\Delta(g) := g \otimes g$ für $g \in G$

und

ε(g): = 1

für $g \in G$

zu einer Bialgebra, die Antipode

S (g): = g - 1

für $g \in G$

macht sie zu einer Hopf-Algebra.

[Bearbeiten] Universelle einhüllende Algebra

Die universelle einhüllende Algebra $\mathrm U(\mathfrak g)$ einer Liealgebra $\mathfrak g$ ist auf natürliche Weise ein Hopfalgebra. Für ein Element $x \in \mathfrak g$ ist das Koprodukt durch

$\Delta(x) := 1\otimes x + x \otimes 1$

und die Koeins durch

ε(x): = 0

definiert.

S (g): = - x

definiert die Antipode.

[Bearbeiten] Gruppenartige und primitive Elemente

Ein Element $g$ einer Hopfalgebra heißt gruppenartig, wenn $\Delta(g)=g \otimes g$ und $ε(g) = 1$ . Für die Antipode gilt dann $S (g) = g - 1$ .

Ein Element $x$ heißt primitiv, wenn $\Delta(x)=1\otimes x + x\otimes 1$ . Daraus folgt, dass $ε(x) = 0$ und $S (x) = - x$ .

Ein Element $x$ heißt schiefprimitiv, wenn $\Delta(x)=g\otimes x + x\otimes h$ mit gruppenähnlichen Elementen $g$ und $h$ . Daraus folgt, dass $ε(x) = 0$ und $S (x) = - g - 1 x h - 1$ .