Inhalt (Polynom)
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Als Inhalt (engl. content) eines Polynoms bezeichnet man den größten gemeinsamen Teiler seiner Koeffizienten: Sei
ein Polynom mit Koeffizienten aus einem beliebigen faktoriellen Ring R. Dann ist 
der Inhalt von f und wird im Folgenden mit inhaltR(f) bezeichnet. Der Inhalt ist bis auf eine Einheit eindeutig bestimmt.
Beispiel: Der Inhalt von f = 6x3 + 9x + 12 als Polynom mit Koeffizienten aus 
ist
oder auch − 3. Fassen wir f dagegen als Polynom mit Koeffizienten aus 
auf, so erhalten wir
oder jede andere rationale Zahl außer der null. Falls klar ist, aus welchem Ring die Koeffizienten von f stammen, schreiben wir einfach inhalt(f).
Polynome, deren Inhalt eine Einheit ist, nennen wir primitiv.
[Bearbeiten] Lemma von Gauß
Für das Produkt zweier Polynome gilt
- inhalt(fg) = inhalt(f)inhalt(g),
insbesondere ist das Produkt zweier primitiver Polynome wieder primitiv.
Als „Lemma von Gauß“ werden oft auch die beiden folgenden Korollare aus dieser Aussage bezeichnet:
- Wenn ein Polynom (in einer Variablen) über einem faktoriellen Ring irreduzibel ist, dann ist es auch über seinem Quotientenkörper irreduzibel.
- Wenn ein normiertes Polynom eine Nullstelle im Quotientenkörper hat, dann liegt diese bereits im Ring selbst.
Gauß selbst zeigt in den Disquisitiones Arithmeticae (art. 42) die Variante:
- Das Produkt zweier normierter Polynome f,g mit rationalen Koeffizienten hat nur dann ganzzahlige Koeffizienten, wenn bereits die Koeffizienten von f und g ganzzahlig sind.
