Klassenzahl

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Sei $K$ ein algebraischer Zahlkörper. Dann ist seine Klassenzahl $h K$ die Ordnung der (stets endlichen) Idealklassengruppe von $K$ .

Eine Primzahl $p$ heißt regulär, wenn $p|h_{\mathbb{Q}(\zeta_p)}$ , wobei $ζ p$ eine $p$ -te Einheitswurzel ist.

Inhaltsverzeichnis

1 Zahlentheoretische Bedeutung
- 1.1 Beispiel (Spezialfall von Fermats letztem Satz)
2 Eigenschaften
3 Literatur

[Bearbeiten] Zahlentheoretische Bedeutung

Sei $\mathfrak a$ ein Ideal des Ganzheitsrings von $K$ . Seien ferner die natürliche Zahl $n$ und $h K$ teilerfremd. Dann ist $\mathfrak{a}^n$ ein Hauptideal, da sein Bild in der Idealklassengruppe das neutrale Element ist. Damit lassen sich die Lösungen einer Gleichung der Form $F (x n) = y$ bis auf Einheiten lösen, wenn man seine Lösung in der Idealgruppe kennt.

Aus diesem Grund ist die Bestimmung der Primfaktorzerlegung der Idealklassenzahl, oder zu mindest die Angabe einer oberen Schranke für deren $p$ -Komponenten, eine der zentralen Aufgaben der Zahlentheorie.

[Bearbeiten] Beispiel (Spezialfall von Fermats letztem Satz)

Sei $p$ eine ungerade reguläre Primzahl. Dann hat die Gleichung $x^p+y^p=z^p,\quad (xyz,p)=1$ keine ganzzahligen Lösungen.

Beweisskizze: Die Gleichung lässt sich umschreiben zu $\prod_{i=0}^{p-1} x+\zeta_p^i y = z^p$ . Geht man jetzt zur Idealgruppe von $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ über, erhält man auf der linken Seite ein Produkt von $p$ relativ primen Idealen, und auf der rechten Seite ein Hauptideal. Daraus erhält man Gleichungen der Form $x+ \zeta_p^i y = (\mathrm{Einheit}) \cdot \alpha^p$ , die man zum Widerspruch führen kann.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Klassenzahlformel: Für die Klassenzahl $h K$ gilt: $\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{\mid D_K \mid}}$ Dabei ist $w K$ die Anzahl der Einheitswurzeln in $K$ , $D K$ die Diskriminante der Erweiterung $K/\mathbb{Q}.$ und $\operatorname{Reg}_K$ der Regulator von $K$ .

Die Klassenzahlformel eignet sich zur praktischen Berechnung der Klassenzahl.

Sei $K | k$ eine $\mathbb{Z}_p$ -Erweiterung, d.h. $k=k_0 \subset k_1 \subset ... \subset K$ und $G(k_n|k)\cong \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ . Sei $p^{e_n}$ der $p$ -Anteil der Klassenzahl $h_{k_n}$ . Dann gibt es von $n$ unabhängige natürliche Zahlen $λ$ , $μ$ , $ν$ , so dass $e n = λ n + μ p n + ν$ für hinreichend großes $n$ . (Siehe: Iwasawa-Theorie)
Vermutung von Vandiver (nicht allgemein bewiesen, für $p< 12\cdot 10^6$ verifiziert):

Sei $K^+:= \mathbb{Q}(\zeta_p)^+ = \mathbb{Q}(\zeta_p) \cap \mathbb{R}$ . Dann ist

p

kein Teiler von $h_{K^+}$

Für $K=\mathbb{Q}(\zeta_p)$ gilt: $p|h_K \Leftrightarrow p|B_j$ für ein $j\in \{2,4,...,p-3\}$
Sei $n > 0$ . Dann gilt: $p|h_{\mathbb{Q}(\zeta_p)} \Leftrightarrow p|h_{\mathbb{Q}(\zeta_p^n)}$

[Bearbeiten] Literatur

Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6.
Lawrence C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Second Edition, Springer-Verlag, 1997. ISBN 0-387-94762-0

Von „http://de.wikipedia.org../../../k/l/a/Klassenzahl.html“

Kategorie: Algebra