Diskussion:Konvergenzradius

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Inhaltsverzeichnis

1 "In vielen Fällen..."
2 "Beweis"
3 Bezeichner für komplexe Zahlen
4 Fehler im Artikel?

[Bearbeiten] "In vielen Fällen..."

In welchen?--Gunther 00:09, 3. Apr 2005 (CEST)

[Bearbeiten] "Beweis"

Toll wäre es, wenn man auch den Beweis dazu hätte...

Würde Dir ein kargen Verweis auf die geometrische Reihe genügen?--Gunther 14:57, 12. Jan 2006 (CET)

naja, ich fänds schon cool, wenn es ein wenig ausführlicher wäre. Denn wenn, du nur einen kleinen Verweis auf die geometrische

Reihe machst, weiß ja keiner was damit anzufangen, oder?

Ich weiß nicht, ist die folgende Heuristik nicht irgendwie naheliegend?

$r\approx1/\sqrt[n]{a_n}$
$a_n(x-x_0)^n\approx\Big(\frac{x-x_0}r\Big)^n=q^n$
$\sum q^n=\begin{cases}\mathrm{konvergent}&|q|<1\\\mathrm{meistens\ beschr\ddot ankt}&|q|=1\\\mathrm{unbeschr\ddot ankt}&|q|>1\end{cases}$

Natürlich ist das kein Beweis, aber man kann einen draus machen. Allerdings kann man das so nicht in den Artikel schreiben. Und ein richtiger ε-δ-Beweis ist halt nervig und unübersichtlich, das wäre eher etwas für das b:Beweisarchiv.--Gunther 15:19, 12. Jan 2006 (CET)

Ja, da hast du Recht. Das sollte wohl so reichen.

Der Beweis folgt direkt aus dem Wurzelkriterium. Demnach ist die Reihe konvergent, wenn

$\limsup{\sqrt[n]{|a_n\,(x-x_0)^n|}} < 1$ , das heißt wenn

$|x-x_0| < \frac{1}{\limsup{\sqrt[n]{|a_n|}}}$ .

Divergent entsprechend für $| x - x 0 | > r$ . --Drizzd 18:55, 14. Feb 2006 (CET)

Das ist zwar formal richtig, erklärt aber nichts. Man kann übrigens genausogut das Wurzelkriterium als den Spezialfall

x = x 0 + 1

der fraglichen Aussage betrachten.--Gunther 19:06, 14. Feb 2006 (CET)

Es ist der Beweis, dass obige Formel genau den Konvergenzradius (nach dessen Definition) ergibt. Der Beweis des Wurzelkriteriums ist Voraussetzung, aber nicht umgekehrt. Dieses wird über das Majorantenkriterium und Eigenschaften der geometrischen Reihe bewiesen. --Drizzd 20:51, 14. Feb 2006 (CET)

Man kann genausogut die Formel für den Konvergenzradius direkt aus der geometrischen Reihe beweisen und dann als Spezialfall das Wurzelkriterium daraus herleiten. Spontan würde ich auch das Wurzelkriterium für weniger wichtig halten.--Gunther 21:24, 14. Feb 2006 (CET)

[Bearbeiten] Bezeichner für komplexe Zahlen

In der Funktionentheorie werden komplexe Zahlen üblicherweise mit z bezeichnet, während x und y oft für reelle Zahlen stehen. Wäre es nicht angebracht, x überall durch z zu ersetzen?

[Bearbeiten] Fehler im Artikel?

Ich bin mir nicht sicher genug die Änderungen selbst durchzuführen, deshalb frage ich erstmal hier nach: Fehlt unter dem $\limsup$ nicht ein $n \to \infty$ ? Und bei den drei Beispielen bin ich mehr ziemlich sicher, dass es statt $| x | = 1$ eher $| x | < 1$ heißen müsste. 82.135.79.246 17:38, 30. Jul 2006 (CEST)