Konvergenz (Stochastik)

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In der Stochastik existieren verschiedene Konzepte eines Grenzwertbegriffs für Zufallsvariablen. Anders als im Fall reeller Zahlenfolgen gibt es keine natürliche Definition für das Grenzverhalten von Zufallsvariablen bei wachsendem Stichprobenumfang, weil das asymptotische Verhalten der Experimente immer von den einzelnen Realisationen abhängt und wir es also formal mit der Konvergenz von Funktionen zu tun haben. Daher haben sich im Laufe der Zeit unterschiedlich starke Konzepte herausgebildet, die wichtigsten dieser Konvergenzarten werden im folgenden kurz vorgestellt.

Inhaltsverzeichnis

1 Voraussetzungen
2 Fast sichere Konvergenz
3 Konvergenz im p-ten Mittel
4 Stochastische Konvergenz
5 Schwache Konvergenz
- 5.1 Definition für Maße
- 5.2 Anwendung auf Zufallsvariablen
6 Zusammenhang zwischen den einzelnen Konvergenzarten
7 Literatur

[Bearbeiten] Voraussetzungen

Wir werden die klassischen Konvergenzbegriffe immer im folgenden Modell formulieren: Gegeben sei eine Folge $X_n\;$ von Zufallsvariablen, die auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ definiert ist. Eine Realisation dieser Folge wird üblicherweise mit $X_n(\omega)\;$ bezeichnet.

[Bearbeiten] Fast sichere Konvergenz

Der Begriff der fast sicheren Konvergenz ist am ehesten mit der Formulierung für Zahlenfolgen vergleichbar. Er wird vor allem bei der Formulierung von starken Gesetzen der großen Zahlen verwendet.

Man sagt, dass die Folge $X_n\;$ fast sicher gegen eine Zufallsvariable $X\;$ konvergiert, falls

$P\left(\lim_{n \rightarrow \infty} X_n = X\right) := P\left(\left\{\omega\in\Omega : \lim_{n \rightarrow \infty} X_n(\omega) = X(\omega)\right\}\right) = 1$

gilt. Übersetzt bedeutet dies, dass für fast alle Realisationen der Folge der klassische Konvergenzbegriff aus der reellen Analysis gilt.

Schreibweise: $X_n \rightarrow X\;$ f.s.

[Bearbeiten] Konvergenz im p-ten Mittel

Ein integrationstheoretischer Ansatz wird mit dem Begriff der Konvergenz im p-ten Mittel verfolgt. Es werden dabei nicht einzelne Realisationen betrachtet, sondern Erwartungswerte der Zufallsvariablen.

Formal konvergiert $X_n\;$ im p-ten Mittel gegen eine Zufallsvariable $X$ , falls

$\lim_{n \rightarrow \infty} E[|X_n - X|^p] = 0$

gilt. Dabei wird $p > 1\;$ vorausgesetzt. Dies bedeutet, dass die Differenz $X_n-X\;$ im L^p-Raum $\mathcal L^p(P)$ gegen $0$ konvergiert. Man bezeichnet diese Konvergenz daher auch als $\mathcal L^p$ -Konvergenz.

Wegen der Ungleichung der verallgemeinerten Mittelwerte folgt für $q>p\;$ aus der Konvergenz im q-ten Mittel die Konvergenz im p-ten Mittel.

[Bearbeiten] Stochastische Konvergenz

Ein etwas schwächerer Konvergenzbegriff ist die stochastische Konvergenz oder Konvergenz in Wahrscheinlichkeit. Wie der Name bereits suggeriert, werden nicht spezielle Realisationen der Zufallsvariablen betrachtet, sondern Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereignisse. Eine klassische Anwendung der stochastischen Konvergenz sind schwache Gesetze der großen Zahlen.

Die mathematische Formulierung lautet: Die Folge $X_n\;$ konvergiert stochastisch gegen eine Zufallsvariable $X$ , falls $\forall \varepsilon > 0:\lim_{n \rightarrow \infty} P(|X_n - X| > \varepsilon) = 0$ .

Schreibweise: $P\text{-}\lim_{n \rightarrow \infty} X_n = X\;$ oder $X_n \stackrel{P}{\rightarrow} X$ .

[Bearbeiten] Schwache Konvergenz

Der vierte prominente Konvergenzbegriff ist der der schwachen Konvergenz (für Maße) oder Konvergenz in Verteilung (für Zufallsvariablen).

[Bearbeiten] Definition für Maße

Eine Folge $μ n$ von Maßen auf einem Messraum $(\Omega, \mathcal{A})$ konvergiert schwach gegen ein Maß $μ$ , falls für alle stetigen und beschränkten Funktionen $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$

$\lim_{n \rightarrow \infty} \int f d\mu_n = \int f d\mu$

gilt.

[Bearbeiten] Anwendung auf Zufallsvariablen

Eine Folge von Zufallsvariablen $X_n\;$ konvergiert in Verteilung gegen die Zufallsvariable $X$ , wenn die Folge der induzierten Bildmaße $\mu_n(A):=P(X_n\in A)$ schwach gegen das Bildmaß $\mu(A):=P(X\in A)$ konvergiert. Äquivalent dazu ist die Charakterisierung, dass für die Verteilungsfunktionen $F_n(x)\;$ von $X_n\;$ und $F(x)\;$ von $X\;$

$\lim_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$

punktweise in allen Stetigkeitspunkten von $F\;$ gilt (Lit.: Ash, Theorem 4.5.4). Die wohl bekanntesten Anwendungen der Konvergenz in Verteilung sind zentrale Grenzwertsätze.

Da die Konvergenz in Verteilung ausschließlich durch die Bildmaße bzw. durch die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen definiert sind, ist es nicht notwendig, dass die Zufallsvariablen auf dem selben Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind.

Als Notation verwendet man in der Regel $X_n \stackrel{w}{\rightarrow} X$ oder $X_n \stackrel{\mathcal D}{\rightarrow} X$ . Die Buchstaben „W“ bzw. „D“ stehen dabei für die entsprechenden Begriffe im Englischen, also weak convergence bzw. convergence in distribution.

[Bearbeiten] Zusammenhang zwischen den einzelnen Konvergenzarten

In der Reihe der wichtigsten Konvergenzbegriffe in der Stochastik stellen die beiden zuerst vorgestellten Begriffe die stärksten Konvergenzarten dar. Sowohl aus fast sicherer Konvergenz als auch aus Konvergenz im p-ten Mittel lässt sich immer die stochastische Konvergenz einer Folge von Zufallsvariablen ableiten. Ferner folgt aus stochastischer Konvergenz automatisch auch die Konvergenz in Verteilung, die die schwächste der hier vorgestellte Konvergenzarten ist. (Lit.: Fisz, Kapitel 6.2).

[Bearbeiten] Literatur

Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3
Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989.

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