Korteweg-de Vries-Gleichung
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Die Korteweg-de-Vries-Gleichung ist eine nichtlineare partielle Differentialgleichung dritter Ordnung. Sie wurde erstmalig 1895 von Diederik Korteweg und Gustav de Vries zur Analyse von Flachwasserwellen in engen Kanälen vorgeschlagen. Eine Lösung der Gleichung führt zur mathematischen Darstellung von Solitonen, die in Wasserkanälen erstmals 1834 von John Scott Russell beobachtet wurden. 1965 konnte nachgewiesen werden, dass die Korteweg-de-Vries-Gleichung den kontinuierlichen Grenzfall des Fermi-Pasta-Ulam Experiments darstellt.
[Bearbeiten] Mathematische Formulierung
Die Korteweg-de-Vries-Gleichung ist als partielle Differentialgleichung in einer Dimension und der Zeit formuliert. Sie ist eine Gleichung dritter Ordnung. Ursprünglich wurde sie von Korteweg und de Vries in der Form
mit 
explizit für Wellen in Kanälen formuliert, wobei l die Tiefe angibt, g die Fallbeschleunigung, T die Oberflächenspannung und ρ die Dichte der Flüssigkeit. In der heutigen Fachliteratur findet man die Gleichung jedoch meist in der abstrahierten Form
die durch mehrere Transformationsschritte aus der ursprünglichen Gleichung ableitbar ist. Die Korteweg-de-Vries Gleichung besitzt als eine wichtige Lösung die Solitonen.
[Bearbeiten] Literatur
- D. Korteweg, G. de Vries: On the Change of Form of Long Waves advancing in a Rectangular Canal and on a New Type of Long Stationary Waves. Philosophical Magazine, 5th series, 36, 1895, pp. 422-443
