Krulltopologie

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Die Krulltopologie, nach Wolfgang Krull, ist eine Topologie auf der Galoisgruppe einer nicht notwendigerweise endlichen Körpererweiterung $L / K$ , so dass diese zu einer so genannten topologischen Gruppe wird.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition für Galoiserweiterungen
2 Hauptsatz der Galoistheorie
3 Darstellungen
4 Verallgemeinerung: Nicht algebraische Erweiterungen

[Bearbeiten] Definition für Galoiserweiterungen

Es sei $L / K$ eine nicht notwendigerweise endliche galoissche Körpererweiterung. Für eine unendliche Erweiterung bedeute dabei galoissch, dass die Erweiterung separabel ist und zu jeder endlichen galoisschen Teilerweiterung $K\subseteq M\subseteq L$ auch die normale Hülle von $M$ enthält.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Krulltopologie zu definieren:

1. Man definiert die Umgebungsbasis des neutralen Elements als die Menge

$\{G(L/M)\mid K\subseteq M\subseteq L,\ [M:K]<\infty\}$

der Galoisgruppen für über $K$ endliche Teilerweiterungen.

2. Es gibt eine kanonische Bijektion

$G(L/K)=\lim_M G(M/K),$

wobei $M$ alle über $K$ endlichen Teilerweiterungen $K\subseteq M\subseteq L$ durchläuft. Versieht man die endlichen Gruppen $G (M / K)$ mit der diskreten Topologie und den projektiven Limes mit der Limestopologie, so erhält man dieselbe Topologie wie unter 1. Mit dieser Darstellung ist ersichtlich, dass $G (L / K)$ eine proendliche Gruppe ist.

[Bearbeiten] Hauptsatz der Galoistheorie

Die Bedeutung der Krulltopologie liegt darin begründet, dass sie es ermöglicht, den Hauptsatz der Galoistheorie auf unendliche Galoiserweiterungen auszudehnen: Ist $L / K$ eine unendliche Galoiserweiterung, so gibt es eine kanonische Bijektion zwischen Teilerweiterungen $K\subseteq M\subseteq L$ und abgeschlossenen Untergruppen von $G (L / K)$ : Einer Erweiterung $M$ entspricht die Untergruppe

$G(L/M)\subseteq G(L/K),$

einer Untergruppe $U\subseteq G(L/K)$ die Erweiterung

$L^U=\{x\in L\mid \sigma x=x\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ \sigma\in U\}.$

Eine Teilerweiterung $M / K$ ist genau dann normal (und damit galoissch), wenn $G (L / M)$ ein Normalteiler in $G (L / K)$ ist; die Galoisgruppe $G (M / K)$ ist kanonisch isomorph zum Quotienten $G (L / K) / G (L / M)$ .

[Bearbeiten] Darstellungen

Es sei $K$ ein Körper und $K sep$ ein separabler Abschluss von $K$ . Weiter sei $V$ ein Vektorraum (über irgendeinem Körper). Versieht man $GL(V)$ mit der diskreten Topologie, so sind Darstellungen von $G (K sep / K)$ auf $V$ genau dann stetig, wenn sie über einen endlichen Quotienten $G (M / K)$ für eine endliche Erweiterung $M / K$ faktorisieren. Die Kategorie der stetigen Darstellungen von $G (K sep / K)$ ist also in diesem Sinne die Vereinigung aller Kategorien von Darstellungen der Gruppen $G (M / K)$ für endliche Erweiterungen $M / K$ .

[Bearbeiten] Verallgemeinerung: Nicht algebraische Erweiterungen

Es sei $L / K$ eine beliebige Körpererweiterung. Die Krulltopologie auf der Gruppe $\operatorname{Aut}(L/K)$ der Körperautomorphismen von $L$ , die $K$ elementweise festlassen, ist diejenige Topologie, für die die Untergruppen

$G(S)=\{\sigma\in\operatorname{Aut}(L/K)\mid \sigma s=s\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ s\in S\}$

für endliche Teilmengen $S\subseteq L$ eine Umgebungsbasis des Einselementes bilden. $\operatorname{Aut}(L/K)$ wird mit dieser Topologie zu einer topologischen Gruppe.