Diskussion:Legendre-Transformation

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Ich meine, dieser Artikel sollte etwas ausführlicher werden. Das Konzept der unabhängigen Variable ist mathematisch unklar (man hört das allerdings oft in Physikvorlesungen). Der Begriff Berührungstrafo sollte durch Kontakttrafo ersetzt werden.

Ich werde das morgen mal angehen, wenn es keine Gegenstimmen gibt.--CWitte 12:10, 25. Okt 2004 (CEST)

Inhaltsverzeichnis

1 stimme zu
2 unverständlich
3 Zweites Argument y verwirrt nur
4 Version in Anlehnung an V.I.Arnold: Gewöhnliche DGL'n
5 Beispiele
6 Anwendungsgebiete für die Legendre-Transformation
7 Einleitung falsch?
8 Bild

[Bearbeiten] stimme zu

ich finde auch dass hier etwas ausführlicher auf die Transformation an sich eingegangen werden sollte. Ist für die klassische Mechanik sehr wichtig und deshalb würd ich endlich gerne verstehen, aber was soll man machen......paucken!

Außerdem wurde nicht ein Wort darüber verlohren, für welche Funktionen dies alles funktioniert. Sind das nicht nur die streng monotonen??

Nein streng konvexe (siehe Abschnitt "zweites Argument verwirrt nur").TN 16:29, 19. Nov. 2006 (CET)

Warum nur konvexe? Wie wär's mit wendestellenfrei?

Natürlich gehen auch konkave. Das ist ja nur ein Vorzeichenwechsel. Aber einer der beiden Fälle sollte schon vorliegen, sonst funktioniert die Berührungstrafo nicht. Auf einem Intervall def., zweimal diff'bar und wendepunktfrei ist dann sowas. --TN 12:38, 2. Mär. 2007 (CET)

[Bearbeiten] unverständlich

nicht mal der erste satz sagt dem laien um was es hier geht.--Hamburger Hydra 15:40, 5. Mai 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Zweites Argument $y$ verwirrt nur

Das zweite Argument $y$ in der derzeitigen Definition der Legendre-Transformation verwirrt nur. Die einfachste Version ist meiner Ansicht nach:

Die Legendre-Transformation $\mathcal{L}$ ordnet jeder

zweimal stetig diff'baren
auf einem reellen Intervall $I f$ definierten
streng konvexen

Funktion $f:I_{f}\rightarrow\mathbb{R}$ eine Funktion $h:I_{h}\rightarrow\mathbb{R}$ der gleichen Art wie folgt zu:

Der Definitionsbereich $I h$ von $h$ ist das volle Bild der Ableitung $\left.f'\right.$ von $f$ .
Die definierenden Gleichungen für $h$ sind:

$\begin{matrix} h(p) &=& px-f(x),\\ p &=& f'(x). \end{matrix}$

Die dabei auftretende Hilfsvariable $x$ ist durch $p$ und die zweite Gleichung eindeutig bestimmt. Man könnte auch $\left.h(p) = p {f'}^{-1}(p)-f({f'}^{-1}(p))\right.$ schreiben. In den meisten Anwendungen ist jedoch die in der Definition gegebene Form üblicher und übersichtlicher.

Wichtige Eigenschaft: $\mathcal{L}$ ist involutorisch ( $\mathcal{L}(\mathcal{L}(f))=f$ ). Damit gilt

$\begin{matrix} f(x) &=& px - h(p)\\ x &=& h'(p). \end{matrix}$

Geometrische Interpretation: Interpretiert man $F (x; p): = p x - h (p)$ als durch $p\in I_h$ parametrisierte Geradenschar, so ist $f$ die Envelope dieser Geradenschar. Aus diesem Grund bezeichnet man die Legendre-Transformation auch als eine Berührungstransformation.

--TN

[Bearbeiten] Version in Anlehnung an V.I.Arnold: Gewöhnliche DGL'n

Ich habe jetzt in dem Buch [V.I. Arnold: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag Berlin] eine schöne geometrische Einführung der Legendre-Transformation entdeckt. Diese eignet sich, denke ich, sehr gut für das Wiki. Im Folgenden gebe ich das sinngemäß mit einer kleinen Änderung wieder. Arnold ist von einer Abbildung ausgegangen, die Geraden in Punkte abbildet, hier werden zuerst Punkte in Geraden abgebildet. Das ist jedoch auf Grund der Symmetrie der Legendre-Trafo aus meiner Sicht keine wesentliche Änderung. Ich denke, dass die hier vorgestellte Variante in didaktischer Hinsicht ein kleines Bisschen günstiger ist.

Die Legendre-Transformation $\mathcal{L}$ bildet den $\mathbb{R}^2$ bijektiv auf die Menge $G$ aller Geraden der $x$ - $y$ -Ebene ab, die nicht parallel zur $y$ -Achse verlaufen.

Genauer wird durch $\mathcal{L}$ jedem Punkt $(\bar{x},\bar{y})\in\mathbb{R}^2$ die zugehörige Gerade $\mathcal{L}(\bar{x},\bar{y}):=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y = \bar{x}x - \bar{y}\}$ zugeordnet.

Durch das Minuszeichen ist die definierende Gleichung symmetrisch in den Variablen $x,\bar{x}$ und $y,\bar{y}$ . Das sieht man am besten, wenn man $\bar{y}$ mit auf die linke Seite bringt: $\bar{y}+y = \bar{x}x.$

Einem einzelnen Punkt $(\bar{x},\bar{y})$ ordnet die Legendre-Transformation eine einzelne Gerade zu, einer ganzen Kurve $\{(\bar{x},\bar{y})\in\mathbb{R}^2\mid\bar{y}=f(\bar{x})\}$ ordnet sie eine Geradenschar zu.

Die Einhüllende $g$ der Geradenschar wird dann als Legendre-Transformierte $g=\mathcal{L}(f)$ der Kurve bezeichnet. Die Punkte $(x, y)$ dieser Einhüllenden ergeben sich aus dem Gleichungssystem

$\begin{matrix} y &=& \bar{x}x - f(\bar{x})\\ 0 &=& x-f'(\bar{x}). \end{matrix}$

(die zweite Gleichung resultiert aus der Hüllkurven-Bedingung $0=\frac{\partial}{\partial\bar{x}}(\bar{x}x - f(\bar{x}))$ ).

--TN

[Bearbeiten] Beispiele

Den Punkten der durch $\bar{y} = f(\bar{x}) = \frac14\bar{x}^4$ definierten Kurve werden durch die Legendre-Transformation die Geraden

$\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y = \bar{x}x-\frac14\bar{x}^4\right\}$

zugeordnet. Die Hüllkurve dieser durch $\bar{x}$ parametrisierten Geradenschar, also die Legendre-Transformierte von $f$ ist mit $x = \frac{\partial}{\partial \bar{x}}\frac14\bar{x}^4 = \bar{x}^3$ die Funktion

$g(x) = \sqrt[3]{x}x-\frac14\sqrt[3]{x^4}=\frac 34\sqrt[3]{x^4} .$

Die Legendre-Transformierte von $g$ ist

$\begin{matrix} \bar{y} &=& \bar{x}x-g(x)\\ &=& \bar{x}x-\frac 34\sqrt[3]{x^4}\quad&\mbox{ mit }\\ \bar{x}&=& \frac{\partial}{\partial x} \frac 34\sqrt[3]{x^4}\\ &=& \sqrt[3]{x}\quad&\mbox{ also }\\ \bar{y}&=& \bar{x}^4. \end{matrix}$

Für dieses Beispiel bestätigt man also $\mathcal{L}(\mathcal{L}(f))=\mathcal{L}(g)=f$ .

--TN 00:35, 22. Jun 2006 (CEST)

[Bearbeiten] Anwendungsgebiete für die Legendre-Transformation

schon im Artikel erwähnt, hier nur der Vollständigkeit wiederholt: Transformation der Euler-Lagrange-Gleichungen 2. Art (DGL'n 2. Ordnung im Zustandsraum) in die Hamiltonschen Gleichungen (DGL'n 1.&nspc;Ordnung im Phasenraum)
Variablenwechsel beim Energiefunktional für die magnetische Energie

[Bearbeiten] Einleitung falsch?

Zitat: Der Wert von $f (x, y)$ kann alternativ als $f(x,y)=f(x=x_0,y)+\frac{\partial f} {\partial x} \Delta x, \Delta x = x_0-x$ geschrieben werden.

Ich dachte immer, es gälte $f(x,y)=f(x=x_0,y)+\frac{\partial f} {\partial x} \Delta x+o(\Delta x), \Delta x = x_0-x$ mit $\lim_{a \to 0} \frac {o(a)} {a} = 0$

(Quelle: etwa http://www.mathematik.uni-kl.de/~bracke/teaching/HM_2/folien_0302.pdf)

Hab ich was übersehen, oder ist diese Behauptung an dieser Stelle falsch? --Xenoborg 17:06, 24. Jul 2006 (CEST)

Diese Behauptung ist in der Tat falsch. Die ganze "Herleitung" ist Humbug. Man lese den englischen Artikel, wenn man etwas Sinnvolles zum Thema erfahren will. --Theowoll 16:45, 27. Jul 2006 (CEST)