Lemma von Fatou
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Das Lemma von Fatou (nach Pierre Fatou) erlaubt in der Mathematik, das Lebesgue-Integral des Limes inferior einer Funktionenfolge durch den Limes inferior der Folge der zugehörigen Lebesgue-Integrale nach oben abzuschätzen. Es liefert damit eine Aussage über die Vertauschbarkeit von Grenzwertprozessen.
[Bearbeiten] Mathematische Formulierung
Sei (S,Σ,μ) ein Maßraum. Für jede Folge 
nichtnegativer, messbarer Funktionen
gilt
wobei auf der linken Seite der Limes inferior der Folge punktweise zu verstehen ist.
[Bearbeiten] Beispiele für strikte Ungleichung
Der Grundraum S sein jeweils versehen mit der Borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß.
- Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsraum: Sei S = [0,1] das Einheitsintervall. Definiere fn(x) = n1(0,1 / n)(x) für alle
und 
, wobei 1(0,1 / n) die Indikatorfunktion des Intervalls (0,1 / n) bezeichne. - Beispiel mit gleichmäßiger Konvergenz: Sei S die Menge der reellen Zahlen. Definiere
![f_n(x)=\frac1n 1_{[0,n]}(x)](../../../math/6/4/1/641690e80c55ce0d801c3f36f7d680a3.png)
für alle und .
Diese Folgen konvergieren auf S punktweise (bzw. gleichmäßig) gegen die Nullfunktion (mit Integral null), jedes fn hat aber Integral eins.
