Lemma von Urysohn
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Das der Topologie entstammende Lemma von Urysohn sagt folgendes aus:
- Wenn X ein normaler Raum ist und A und B disjunkte abgeschlossene Teilmengen dieses Raumes sind, dann existiert eine stetige Funktion f
- wobei f(a) = 0 für alle a aus A und f(b) = 1 für alle b aus B.
![f\colon X \rightarrow [0, 1]](../../../math/e/e/2/ee2498810338cbbbee69c5434f733662.png)
Das Lemma ist nach Pavel Urysohn benannt. Es wird vielfach benutzt, um stetige Funktionen mit verschiedenen Eigenschaften zu konstruieren. Seine breite Anwendungsmöglichkeit basiert darauf, dass alle metrischen Räume und alle kompakten Hausdorff-Räume normal sind.
Eine Verallgemeinerung stellt der Fortsetzungssatz von Tietze dar. Bei dessen Beweis wird üblicherweise das Urysohn'sche Lemma angewandt.
Es bleibt noch anzumerken, dass der obige Satz nicht voraussetzt, dass 
und 
außerhalb der Teilmengen A und B ist. Diese Bedingung kann nur in perfekten normalen Räumen erfüllt werden.
