Lineare Disjunktheit
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In der abstrakten Algebra heißen zwei Zwischenkörper M und N einer Körpererweiterung L / K linear disjunkt, wenn jede Menge von Elementen von M, die über K linear unabhängig ist, auch über N linear unabhängig ist. Eine äquivalente Charakterisierung lautet: Die Abbildung
ist injektiv (zur Notation siehe Tensorprodukt). An dieser Beschreibung sieht man auch sofort, dass lineare Disjunktheit eine symmetrische Eigenschaft von M und N ist.
Der Schnitt linear disjunkter Teilerweiterungen ist stets der Grundkörper K, d. h.
Die Umkehrung gilt nicht allgemein, jedoch zumindest dann, wenn eine der beiden Erweiterungen M / K und N / K endlich und galoissch ist.
In der Galoistheorie lassen sich bestimmte Aussagen verschärfen, wenn man die lineare Disjunktheit der Zwischenkörper voraussetzt.
Zum Beispiel ist die Galoisgruppe G(MN/K) des Kompositums MN der linear disjunkten Zwischenkörper M, N isomorph zum Produkt der Galoisgruppen G(M/K), G(N/K) von M und N. Lässt man die lineare Disjunktheit weg, erhält man nur die Isomorphie von G(MN/K) zu einer Untergruppe des Produkts G(M/K) × G(N/K).
[Bearbeiten] Verwandte Begriffe
- Eine Körpererweiterung L / K ist genau dann regulär, wenn L linear disjunkt zu einem algebraischen Abschluss
von K ist. - Eine Erweiterung L eines Körpers K der Charakteristik p > 0 ist genau dann separabel, wenn L linear disjunkt zu
-
- ist.
[Bearbeiten] Literatur
- Serge Lang, Algebra. Springer-Verlag, New York 2002. ISBN 0-387-95385-X: Abschnitt VIII, §3
- Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989. ISBN 0-521-36764-6: Abschnitt 26
