Lotka-Volterra-Gleichung
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Die Lotka-Volterra-Gleichung, auch als Jäger-Beute-Gleichung bekannt (siehe auch Volterra-Regeln) ist ein System aus gekoppelten Differentialgleichungen und beschreibt die Dynamik bzw. Wechselwirkung von Jäger- und Beutepopulationen. Aufgestellt wurden die Gleichungen von Vito Volterra und Alfred James Lotka in den Jahren 1925 und 1926.
Der Italiener Vito Volterra untersuchte nach dem ersten Weltkrieg Fischpopulationen in der Adria. Während des Krieges war die Fischerei durch die militärischen Auseinandersetzungen größtenteils lahmgelegt, was zu einem Wachstumsanstieg der Fischpopulationen führte. Erstaunlich war allerdings, daß die Populationen der Raubfische wesentlich größer war als die der Beutefische.
Volterra nahm für die Population der Beutetiere x ein lineares Wachstum a an. Dieses Wachstum wird durch die Anwesenheit der Raubfische y, gewichtet mit einer Beutefangrate b, vermindert. Die Raubfische sind abhängig von ihrer Beute, da sie sonst aussterben würden. Das führt für die Raubfische zu einer negativen Wachstumsrate -c, die durch eine entsprechend hohe Reproduktionsrate d ausgeglichen werden kann.
Das führt zu folgenden Gleichungen:
Die numerisch berechneten Trajektorien zeigen einen Fixpunkt, um welchen Räuber- und Beute- Populationen zyklisch variieren. Der Fixpunkt ist gegeben durch die Lösung der DGL
Die Populationen über der Zeit aufgetragen ergibt das Bild einer Sinus-Schwingung mit einer Phasenverschiebung zwischen der Jäger- und der der Beutepopulation
