Lucas-Carmichael-Zahl
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Eine Lucas-Carmichael-Zahl ist eine zusammengesetzte, natürliche Zahl, die ähnlichen Kriterien wie eine Carmichael-Zahl unterliegt.
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[Bearbeiten] Definition
Eine quadratfreie ungerade natürliche Zahl n heißt Lucas-Carmichael-Zahl, wenn sie mindestens drei Primteiler besitzt, und für jeden Primteiler p der Zahl n gilt: p + 1 teilt n + 1.
[Bearbeiten] Beispiel
- 3 * 7 * 19 = 399
- (3+1) teilt (399+1)
- (7+1) teilt (399+1)
- (19+1) teilt (399+1)
Demzufolge ist 399 eine Lucas-Carmichael-Zahl.
[Bearbeiten] Die kleinsten Lucas-Carmichael-Zahlen
Die folgenden Zahlen sind Lucas-Carmichael-Zahlen
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Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit fünf Primfaktoren ist 588455 = 5 * 7 * 17 * 23 * 43
[Bearbeiten] Eigenschaften
Aufgrund der Identität 
gilt für jeden Primteiler p einer natürlichen Zahl n:
.
Somit ist eine ungerade quadratfreie Zahl n genau dann eine Lucas-Carmichael-Zahl, wenn für alle Primteiler p von n gilt: p + 1 teilt 
.
Es existieren Pseudoprimzahlen unter den Lucas-Carmichael-Zahlen, jedoch sind sie keine Teilmenge der fermatschen Pseudoprimzahlen. Es ist nicht bekannt, ob eine Lucas-Carmichael-Zahl existiert, die gleichzeitig eine Carmichael-Zahl ist.
