Luftdruckgradient

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In einem idealen Gas üben die zufälligen molekularen Bewegungen der Gasteilchen auf die Flächen, die das Gas umschließen einen Impuls aus. Betrachtet man nun ein infinitesimal kleines Volumen $δ V = δ x δ y δ z$ , das von Gas umgeben ist, so wirkt auf jede der 6 Flächen dementsprechend auch ein Impuls. Der Impulstransfer pro Zeit- und Flächeneinheit ist dabei nichts anderes als der Druck, der von dem Gas um des Volumen auf die Flächen des Volumens ausgeübt wird. Hierbei wird der Druck im Zentrum des Volumens als $p 0$ bezeichnet und der Druck an einer der Außenflächen des Volumens entspricht dann einer Taylorreihen Entwicklung um $p 0$

$p_0 + \frac{\partial p}{\partial x} \frac{\delta x}{2} + \mathit{Terme}\,\, \mathit{hoeherer} \,\,\mathit{Ordnung}$ .

Die Terme höherer Ordnung in der weiteren Diskussion kann vernachlässigt werden. Die Kraft, die durch den Druck auf eine Fläche A (aufgespannt von den Längenelementen $δ y δ z$ ) von rechts auf das Volumen ausgeübt wird, kann gemäß dem Zusammenhang, dass Druck der Kraft pro Fläche entspricht, wie folgt dargestellt werden:

$F_{Ax}= -(p_0 + \frac{\partial p}{\partial x} \frac{\delta x}{2})\delta y \delta z$

Dieser Ausdruck ist negativ, da die Kraft von rechts auf das Volumen, welches in einem kartesischen Koordinatensystem liegt, ausgeübt wird. Die Kraftkomponente, die auf das gegenüberliegende Flächenelement ausgeübt wird lautet demnach

$F_{Bx}= (p_0 + \frac{\partial p}{\partial x} \frac{\delta x}{2})\delta y \delta z$ .

Um die totale Kraft zu erhalten, werden jetzt die beiden Komponenten einfach summiert und man erhält

$F_x= F_{Ax}+F_{Bx}= -\frac{\partial p}{\partial x} \delta x \delta y \delta z$ .

Dieser Ausdruck wird nun Druckgradient Kraft genannt, weil die totale Kraft, die auf ein Volumenelement in der entsprechenden Richtung ausgeübt wird, gerade der Ableitung des Druckes in der Richtung der Kraft entspricht. In Kombination mit dem Ausdruck $m = ρδ x δ y δ z$ , wobei $m$ der Masse, $ρ$ der Dichte und $δ x δ y δ z$ dem Volumen entspricht, lässt sich obige Formel weiter umformen.

$\frac{F_x}{m}= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}$

Es ist unschwer zu erkennen, dass für die anderen vier Flächenelemente, die das Volumen einschliessen, natürlich die gleichen Gesetzmässigkeiten gelten.

$\frac{F_y}{m}= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}$

$\frac{F_z}{m}= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}$

Die Kombination der drei Ausdrücke $\frac{F_x}{m}$ , $\frac{F_y}{m}$ und $\frac{F_z}{m}$ führt jetzt zum Ausdruck für die totale Druckgradientkraft pro Masseneinheit