Lyndonwort

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Ein Lyndonwort ist ein formales Wort, das lexikographisch kleiner ist als jede Rotation seiner Buchstaben. Jedes Wort kann eindeutig in eine lexikographisch monoton fallende Folge von Lyndonwörtern zerlegt werden.

[Bearbeiten] Formale Definition

Ein Wort $a$ ist ein Lyndonwort genau dann, wenn für jede Zerlegung $a = u v$ mit nichtleeren Wörtern $u$ und $v$ gilt, dass $a < v u$

[Bearbeiten] Beispiele

Ein einzelner Buchstabe ist immer ein Lyndonwort, da er nicht in zwei nichtleere Wörter zerlegt werden kann und die Bedingung somit leer ist.
$\texttt{aa}$ ist kein Lyndonwort, da mit $u=\texttt a$ und $v=\texttt a$ gilt, dass $\texttt{aa} = vu$ .
$\texttt{ab}$ ist ein Lyndonwort, da $\texttt{ab}=uv$ mit $u=\texttt a$ und $v=\texttt b$ die einzige Zerlegung in nichtleere Wörter ist und $\texttt{ab}<\texttt{ba}=vu$ gilt.

[Bearbeiten] Shirshov-Zerlegung

Jedes Lyndonwort, das aus mehr als nur einem Buchstaben besteht kann in zwei Lyndonwörter $u$ und $v$ mit $a = u v$ und $u < v$ zerlegt werden. Die Zerlegung mit kürzestem $u$ heißt Shirshov-Zerlegung.

Umgekehrt gilt auch, dass für alle Lyndonwörter $u$ und $v$ mit $u < v$ gilt, dass $u v$ ein Lyndonwort ist.

[Bearbeiten] Weitere Beispiele

Die Shirshovzerlegung von $\texttt{ab}$ ist $\texttt{ab}=uv$ mit $u=\texttt a$ und $v=\texttt b$ .
Da $\texttt{a} < \texttt{ab} < \texttt{b}$ Lyndonwörter sind, sind auch $\texttt{aab}$ und $\texttt{abb}$ Lyndonwörter.
Auch $\texttt{aabb}$ ist ein Lyndonwort. Es kann sowohl in die Lyndonwörter $u=\texttt a$ und $v=\texttt{abb}$ als auch in die Lyndonwörter $u'=\texttt{abb}$ und $v'=\texttt b$ zerlegt werden. Da $u$ kürzer ist als $u'$ , ist $u v$ die Shirshovzerlegung von $\texttt{aabb}$ .
Jedes Lyndonwort hat die Struktur $u n v m$ , wobei $u < v$ Lyndonwörter sind. Auf diese Weise sieht man leicht, dass $\texttt{abababbcbc}$ ein Lyndonwort ist.