Benutzer:Marc van Woerkom/Baumdoktor

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[Bearbeiten] Anwendungsbeispiel für ein einfaches lineares Modell: Baumtomographie

Ein Baumdoktor möchte einen Blick in den Stamm eines Baumes werfen, ohne diesen aufzusägen. Zum Glück gibt es die Computertomographie auch für Bäume (siehe z.B. diesen Artikel: Teil 1, Teil 2). Dazu verwendet er einen Röntgenstrahl und eine Messonde, kann damit einen Strahl in das Gebiet mit dem Baumstamm feuern und hinterher messen, wieviel Strahlung aus dem Stamm austritt.

Annahme: Das Material absorbiert derart, dass der Intensitätsverlust linear zur Eindringtiefe ist:

$\Delta I = -\mu I\, \Delta x \implies I(x) = I_0 e^{-\mu x}$

es ergibt sich eine exponentiell abnehmende Intensität. Für das 2d Bild unterteilen wir das Gebiet in kleine Quadrate

G =	∑	G_k
	k

und unser Bild ist dann gegeben durch die Absorptionskoeffizienten

$\mu_k = \mu|_{G_k}$

auf den Quadraten. Da dichteres Material in der Regel mehr absorbiert, erhält man in etwa ein Bild der Materialdichte. (Es soll ja ein einfaches Beispiel bleiben) Jeder Strahl $S$ durchläuft ein oder mehrere der Quadrate und daher gilt für die Gesamtintensität der Messung

$I = I_0 \prod_{k \in S} e^{-\mu_k x_k} = I_0 e^{-\sum_{k \in S} \mu_k x_k}$

wobei der Index $k$ die Indices der vom Strahl geschnittenen Quadrate bezeichnet und $x k$ die Länge des Stahls durch das entsprechende Quadrat angibt. Logarithmiert man, führt somit jeder Strahl zu einer linearen Gleichung

$y = \ln \frac{I_0}{I} = \sum_{k\in S} \mu_k x_k$ .

Der Wert $y$ ergibt sich aus der bekannten ursprünglichen Intensität $I 0$ und der gemessenen Intensität $I$ des Strahls, die Längen $x k$ aus dem Strahlverlauf und der Quadrateinteilung. Man führt mehr Messungen durch, als es unbekannte Koeffizienten $μ k$ gibt, erhält das überstimmte lineare Gleichungsystem

$\mathbf{X}\mathbf{\mu} = \mathbf{y}$

und kann durch Ausgleichsrechnung die Unbekannten und damit die Intensitätsverteilung, das Bild, rekonstruieren.

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