Diskussion:Modallogik

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Ich bin kein Experte, aber habe gerade in einem Buch gelesen, dass S5 auf K,T,4,5 basiert (statt nur K,T,5). Ich glaube auch mit der Zuordnung der Relationseigenschaften stimmt irgendwas nicht, Symmetrie scheint falsch zugeordnet. -Abaris

Hallo Abaris, es ist richtig, dass K, T, 4 und 5 Theoreme von S5 sind, aber 4 lässt sich aus K, T und 5 ableiten (vgl. z.B. Hughes, Cresswell, A New Introduction to Modal Logic, Kapitel 3, The System S5). Die Entsprechung zwischen Axiom B und der Symmetrie der Zugänglichkeitsrelation scheint mir auch richtig, denn in jedem symmetrischen Rahmen ist B gültig und ist B in einem Rahmen, d.h. in jeder Welt in jedem Modell über diesem Rahmen, gültig, so ist der Rahmen symmetrisch (vgl. Hughes, Cresswell). --RobM 19:43, 21. Aug 2005 (CEST)

Inhaltsverzeichnis 1 kleine Fragen 2 Weiterer Ausprägung 3 Literaturangaben 4 Anwendungsbeispiele

[Bearbeiten] kleine Fragen

Ein paar Fragen oder Anregungen. 1.was sind unimodale Logiken, ich meine begrifflich unterschiedlich, zu modalen Logiken? Mich verwirrt die Wortwahl ein wenig. Würde mich selbst über den Informationszuwachs freuen, wenn das vielleicht ergänzend eingefügt werden könnte, was unimodal bedeutet. 2.Zur Nezessierungsregel. Mir ist diese Regel persönlich bekannt als Gödelregel. Aber wie diese Regel nun genannt wird ist nicht so entscheidend. Nur würde ich gerne wissen, was Nezessierung bedeutet? 3. was mich auch brennend interessiert, was eine universelle Subsitution ist? liebe grüße --23:05, 17. Feb 2006 (CET)

Zu 1.) "Unimodal" ist eine Modallogik, die nur einen Modal-Operator hat, "multimodal" eine mit mehreren Operatoren. Die gewöhnliche Modallogik scheint zwei Operatoren zu haben: "es ist notwendig" und "es ist möglich". Das zählt aber noch nicht als multi-modal, da man die beiden Operatoren durch einander definieren kann und man daher einen der Operatoren nicht wirklich braucht. Echt multi-modal wäre eine Logik erst dann, wenn man z.B. einen Notwendigkeits-Operator hätte, der den Gesetzen von K gehorcht und einen, der z.B. S5 gehorcht. Diese wären dann nicht durch einander definierbar. Die gewöhnlichen Modallogiken sind also unimodale Logiken.

Zu 2.) "Gödelregel" ist ein korrekter Ausdruck und sollte eigentlich in den Text. Was verstehst Du an der Regel nicht, so wie sie im Text erklärt ist? Die Regel besagt, wenn Du A bewiesen hast, dann hast Du auch "Es ist notwendig, dass A" bewiesen.

Zu 3.) Substitution besagt zunächst einfach, dass man einen Ausdruck durch einen anderen ersetzt. Z.B. wenn ich in "Wenn A, dann B" den Ausdruck "A" durch "C" ersetze, bekomme ich "Wenn C, dann B". Man unterscheidet nun zwischen universeller und einfacher Substitution.

Bei universeller muss ich _alle_ Vorkommen ersetzen, bei einfacher kann ich eines, mehrere oder alle ersetzen. Der Unterschied kommt natürlich erst zum Tragen, wenn in dem Ausdruck mindestens 2 Vorkommen enthalten sind. Also universelle Substitution von "A" durch "C" in "Wenn A, dann B oder A" ergibt: "Wenn C, dann B oder C", bei einfacherer Substitution könnte sich auch "Wenn C, dann B oder A" ergeben.

Manche logischen Gesetze setzen universelle Substitution voraus. So kann ich in einer bewiesenen Formel einen Ausdruck durch einen anderen ersetzen, wichtig ist aber, dann ich hier nur universell ersetzen kann. Sind allerdings 2 Ausdrücke äquivalent, so kann ich sie einfach durcheinander ersetzen.

Danke für Deine Fragen, das sind alles Sachen, die man in diesen oder in andere Artikel einarbeiten sollte.

--Hajo Keffer 12:26, 18. Feb 2006 (CET)

Danke für die schnelle Antwort:-) zu 2.) die Regel an sich verstehe ich schon. sie besagt an sich ja eigentlich nur, wenn ein Ausdruck A wahr ist,dann ist er notwendigweise wahr. Mich irritiert der Begriff Nezessierung. Kann es sein, dass er von dem englischen necessity kommt? zu 3.)vielleicht sollte das auch in den Beitrag eingearbeitet werden? ich kenne mich leider noch nicht sehr gut hier aus. denn ich denke, dass es wichtig ist darauf hinzuweisen, dass in der Modallogik das Ersetzbarkeitstheorem nicht im gleichen Maße wie in der klass. Aussagenlogik funktioniert. also das ersetzen von sem. äquivalenten Ausdrücken erst gilt, wenn die Regel : gilt. Entspricht das der universellen Subsitution? liebe Grüße --Frem 14:45, 18. Feb 2006 (CET)

Zu 2: Engl. necessity kommt ja selbst wiederum vom Lateinischen necessitas = Notwendigkeit. Nezessieren bedeutet "notwendig machen". Nezessierungsregel = "Wenn ich A gezeigt habe, kann ich A notwendig machen"

Zu 3: Ich bin mir nicht ganz sicher, was Du mit dieser Regel meinst. Der Unterschied zwischen einfacher Aussagenlogik und Modallogik in Bezug auf das Ersetzen von äquivalenten Ausdrücken ist der folgende: In einfacher Aussagenlogik kann ich, wenn ich aus der _Annahme_, dass A und B äquivalent sind, eine Aussage C gefolgert habe, A in C durch B ersetzen. In der Modallogik kann ich das nur, wenn ich _bewiesen_ habe, dass A und B äquivalent sind (oder wenn ich angenommen habe, dass A und B notwendigerweise äquivalent sind). Vermutlich meinst Du mit Deiner Regel etwas ähnliches.

Hierbei handelt es sich aber um einfache Substitution, d.h. um die Ersetzung _einiger_ Vorkommen von A durch B. Die Kalkülregel bezieht sich aber auf universelle Substitution, also auf die Ersetzung _aller_ Vorkommen von A durch B. Es gilt ganz generell, dass ich in einer bewiesenen Formel einen bestimmten Ausdruck universell durch einen anderen ersetzen darf. Das gilt in der normalen Aussagenlogik genau wie in der Modallogik. Die Kalkülregel der universellen Substitution ist also etwas anderes als die Ersetzung von Äquivalenten. Ich habe übrigens auf Deinen Diskussionsbeitrag hin den Artikel Substitution (Logik) verfaßt, vielleicht willst Du da ja mal reingucken.

--Hajo Keffer

zu 2: Vielleicht wäre es dann wirklich ganz hilfreich, diese Notation von dir noch einzufügen. (Ich selbst trau mich noch nicht an die Artikel heran, bin froh, dass ich verstanden habe, wie die Diskussionsseiten funktionieren:-) )Und/Oder geschichtlich wäre es vielleicht interessant, dass Gödel diese Regel "entdeckt" hat. War er eigentlich der erste?

zu 3: Habe den Artikel gelesen:-) Sehr schön. Meines bisherigen Wissenstandes her war mir nur die universelle Subsitution bekannt, also nicht begrifflich, aber von der Anwendung her. Ich sehe bei der Regel die ich oben notiert habe gerade, dass sie auch nicht ganz korrekt ist. Das müsste eine Bijunktion sein und nicht nur eine einfache Implikation. Und dann haben wir es ja, oder?

--Frem 20:38, 18. Feb 2006 (CET)

[Bearbeiten] Weiterer Ausprägung

Eine Auführung über epistemische Modallogik wäre an dieser Stelle noch schön. Dabei halten die Modalitäten B (Believe) und K (Knowledge) Einzug, wobei die Intendierung von ist: α glaubt, daß φ wahr ist. Damit lassen sich btw. Rätsel mit Weisen die Punkte auf der Stirn haben (oder auch nicht) formal lösen. ;) --Schäufli 23:22, 24. Feb 2006 (CET)

[Bearbeiten] Literaturangaben

Ich arbeite mich gerade in das Gebiet der Logik ein und bin dabei auf diesen Artikel gestoßen. Gibt es hierzu empfehlenswerte Literatur? Tom

hallo Tom! einführend zum diesem Thema, aber auch weiterführend zu anderen nichtklassischen Logiken, würde ich persönliche "Nichtklassische Logik" von L.Kreiser und S. Gottwald empfehlen. Gut ist auch "An Introduction to nonclassical logic" von Graham Priest. Falls diese Bücher nicht so richtig helfen, könnte ich mal meine Prof's fragen, was sie außerdem empfehlen würden. Ach genau, was mir da auch einfällt. Eine gute insgesamte Einführung für Logik ist gerade erschienen. Titel ist ganz einfach: Einführung in die Logik. Autor ist Niko Strobach. In diesem Buch gibt es auch Kapitel zur Modallogik. Liebe Grüße --Frem 20:10, 17. Mär 2006 (CET)

[Bearbeiten] Anwendungsbeispiele

Ganz nützlich fände ich, wenn man ein paar Anwendungsbeispiele geben könnte. Wozu braucht man Modallogiken? Was ist einfacher darstellbar mittles der Modaloperatoren? Mir fallen da momentan Programmverfikation (dynamische Logik) und Beschreibung von Agentensystemen ein. Thomas