Orientierung (Mathematik)
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Zur Definition der Orientierung von Vektorräumen führen wir zunächst eine Äquivalenzrelation ein: Zu je zwei Basen B1, B2 betrachtet man die Basistransformationsmatrix, nennen wir sie M(B1,B2). Nun definieren wir:
Dies definiert natürlich genau zwei Äquivalenzklassen. Eine Orientierung ist nun eine solche.
[Bearbeiten] Beispiel für Orientierungen in Vektorräumen
In 
sind sowohl (e1,e2), als auch (e2,e1) Basen. Die Basistransformationsmatrix ist 
. Die Determinante von M ist: det(M) = − 1. Also haben wir Repräsentanten aus beiden Äquivalenzklassen.
[Bearbeiten] Orientierung einer Mannigfaltigkeit
Eine Orientierung 
einer Mannigfaltigkeit Mk ist eine Menge von Orientierungen des Tangentialraums TxMk im Punkte x: 
. Diese sind in folgendem Sinne stetig im Punkt x:
existiert eine Karte 
, sodass die Basis 
der Orientierung 
entspricht.
Eine Mannigfaltigkeit ist nun orientierbar, falls eine solche Orientierung existiert.
Eine einfachere Charakterisierung von Orientierbarkeit erhält man mittels folgendem Satz:
- Mk ist orientierbar
Es existiert ein Atlas (hi,Ui) derart, dass 
für Karten i,j mit nichtleerem Schnitt (
)
Das Möbiusband ist ein Beispiel für eine nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit.
