Pascalsche Pyramide

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Die Pascalsche Pyramide ist die dreidimensionale Verallgemeinerung des Pascalschen Dreiecks. Sie enthält die Multi- bzw. Polynomialkoeffizienten dritter Ordnung (Trinomialkoeffizient), d.h. die Koeffizienten von $(a + b + c) n$ stehen auf Ebene n+1. Wie im Pascalschen Dreieck beginnt die Pascalsche Pyramide mit einer einzelnen eins auf der obersten Ebene (der „Spitze“ der Pyramide). Jede weitere Zahl ist die Summe der drei über ihr stehenden Zahlen. Alle besonderen Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks (siehe z. B. Sierpinski-Dreieck, Symmetrie) lassen sich sinngemäß auch auf die Pascalsche Pyramide anwenden.

Siehe auch: Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Polynom, Binomialkoeffizient

[Bearbeiten] Alternative Konstruktion

Die Trinomialkoeffizienten sind gegeben durch

$\frac{(i+j+k)!}{i! j! k!}$ mit i + j + k = n.

Die Identität

$\frac{(i+j+k)!}{i! j! k!} = \frac{(i+j+k)!}{(i+j)! k!} \cdot \frac{(i+j)!}{i! j!}$

legt folgende Konstruktionsvorschrift für die (n+1)-te Ebene nahe:

Bilde zunächst die drei Seiten des Dreiecks. Diese entsprechen der (n+1)-ten Zeile im Pascalschen Dreieck.
Fülle nun die m-te Zeile mit den Einträgen aus der m-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks, multipliziert mit dem an den Seiten bereits eingetragenen Faktor.

[Bearbeiten] Die ersten sieben Ebenen

1. Ebene

2. Ebene

3. Ebene

                                 1 

                              2     2

                           1     2     1

4. Ebene

                                 1

                              3      3 

                           3     6      3

                        1     3      3     1

5. Ebene

                                 1

                              4      4

                           6    12      6

                        4    12     12     4

                     1     4     6      4     1

6. Ebene

                                  1

                               5     5

                           10    20    10

                        10    30    30    10

                      5    20    30    20     5

                   1     5    10    10     5     1

7. Ebene

                                  1

                               6     6

                           15    30    15

                        20    60    60    20

                     15    60    90    60    15

                   6    30    60    60    30     6

                1     6    15    20    15     6     1

... u.s.w.

Die Summe aller Zahlen einer Ebene ist: 3^n-1

Die Summe aller Zahlen von der ersten Ebene bis zur n-Ebene ist: $\frac{3^n-1}{2}$