Poisson-Klammer

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten auf deiner Diskussionsseite.

Die Poisson-Klammer (nach Siméon Denis Poisson) ist ein bilinearer Differentialoperator in der kanonischen (hamiltonschen) Mechanik. Sie ist definiert als

$\left \{ F,G \right \} = \sum_{k=1}^{s}{\left ( \frac{\partial F}{\partial q_k} \frac{\partial G}{\partial p_k} - \frac{\partial F}{\partial p_k} \frac{\partial G}{\partial q_k} \right )},$

wobei $F$ und $G$ Funktionen sind. Weiter sind die $q k$ die generalisierten Koordinaten, $p k$ die kanonisch konjugierten Impulse und s die Anzahl der Freiheitsgrade.

Inhaltsverzeichnis

1 Herleitung
2 Eigenschaften
- 2.1 Fundamentale Poisson-Klammern
3 Anwendung
4 Siehe auch

[Bearbeiten] Herleitung

Der Einfachheit halber verwenden wir die Schreibweise

$q_1,q_2,...,q_s \rightarrow \mathbf{q}$

sowie

$p_1,p_2,...,p_s \rightarrow \mathbf{p}$ .

Zudem verwenden wir bei den partiellen Ableitungen die vektorielle Notation mit einem Skalarprodukt im s-dimensionalen Raum, also etwa

$\sum^s_{k=1}\frac{\partial H}{\partial q_k} \dot q_k=\nabla_{\mathbf{q}}H \cdot \dot\mathbf{q}$ ,

wobei H die Hamilton-Funktion des Systems ist. Mit diesen Vereinfachungen wird die Zeitableitung einer beliebigen Observablen $f(\mathbf{q},\mathbf{p},t)$ zu

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\nabla_{\mathbf{q}}f \cdot \dot\mathbf{q}+\nabla_{\mathbf{p}}f \cdot \dot\mathbf{p}+\frac{\partial f}{\partial t}$ .

Benutzen wir nun die Hamilton'schen Gleichungen in vektorieller Form,

$\dot\mathbf{q}=\nabla_{\mathbf{p}}H$

$\dot\mathbf{p}=-\nabla_{\mathbf{q}}H$

so erhalten wir damit

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\nabla_{\mathbf{q}}f \cdot \nabla_{\mathbf{p}}H-\nabla_{\mathbf{p}}f \cdot \nabla_{\mathbf{q}}H+\frac{\partial f}{\partial t}=\{f,H\}_{\mathbf{qp}} + \frac{\partial f}{\partial t}=\sum^s_{k=1}\left(\frac{\partial f}{\partial q_k}\frac{\partial H}{\partial p_k}-\frac{\partial f}{\partial p_k}\frac{\partial H}{\partial q_k}\right)+\frac{\partial f}{\partial t}$

Man definiert also die Poisson-Klammer allgemein als

$\{F,G\}_{\mathbf{ab}}:=\nabla_{\mathbf{a}}F \cdot \nabla_{\mathbf{b}}G-\nabla_{\mathbf{b}}F \cdot \nabla_{\mathbf{a}}G=\sum^s_{k=1}\left(\frac{\partial F}{\partial a_k}\frac{\partial G}{\partial b_k}-\frac{\partial F}{\partial b_k}\frac{\partial G}{\partial a_k}\right)$

[Bearbeiten] Eigenschaften

Antisymmetrie

$\{f,g\}=-\{g,f\} \Rightarrow \{f,f\}=0$

Linearität in beiden Funktionen

{c 1 f 1 + c 2 f 2, g} = c 1 {f 1, g} + c 2 {f 2, g}

Produktregel

{f, g h} = h {f, g} + g {f, h}

Jacobi-Identität

{f,{g, h}} + {g,{h, f}} + {h,{f, g}} = 0

Invarianz

Physikalisch liegt es nahe anzunehmen, dass die Zeitentwicklung einer Eigenschaft eines Systems nicht von den verwendeten Koordinaten abhängen sollte. Damit sollten auch die Poisson-Klammern unabhängig von den verwendeten kanonischen Koordinaten sein. Seien $(\mathbf{q},\mathbf{p})$ und $(\mathbf{Q},\mathbf{P})$ zwei verschiedene Sätze von Koordinaten, so gilt

$\{f,g\}_{\mathbf{qp}}=\{f,g\}_{\mathbf{QP}}=\{f,g\}$ .

Der Beweis für die Invarianzeigenschaft ist länglich, sodass wir ihn hier auslassen.

[Bearbeiten] Fundamentale Poisson-Klammern

Für die kanonische Mechanik wichtig sind die fundamentalen Poisson-Klammern

$\left \{ q_k, p_l \right \} = \delta_{kl}$

$\left \{ q_k, q_l \right \} = 0$

$\left \{ p_k, p_l \right \} = 0$

welche einfach aus den trivialen Beziehungen

$\frac{\partial q_k}{\partial p_l}=0$

$\frac{\partial p_k}{\partial q_l}=0$

$\frac{\partial p_k}{\partial p_l}=\delta_{kl}$

folgen.

Dabei ist $δ k l$ der Kronecker Tensor.

[Bearbeiten] Anwendung

Die Poisson-Klammer kann dazu benutzt werden, um die zeitliche Änderung von Observablen durch die Dynamik des Systems zu bestimmen. Es gilt für eine Observable $f(\mathbf{q},\mathbf{p},t)$

$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}=\{f,H\} + \frac{\partial f}{\partial t},$

Insbesondere kann man mit dieser Gleichung Konstanten der Bewegung (Erhaltungsgrößen) charakterisieren. Eine Observable $f(\mathbf{q},\mathbf{p})$ ist nämlich genau dann eine Erhaltungsgröße, wenn

$0=\{f,H\} + \frac{\partial f}{\partial t}$

gilt. Ist

f

nicht explizit zeitabhängig, wird daraus

0 = {f, H}

Dual zur Bewegungsgleichung der Observablen ist die Liouville-Gleichung, die die Dynamik der Verteilungsdichte in der statistischen Mechanik beschreibt:

$\dot{\rho}=\{\rho,H\}.$

In der Quantenmechanik wird im Rahmen der kanonischen Quantisierung die Poisson-Klammer durch den Kommutator ersetzt. Die Liouville-Gleichung findet ihren Entsprechung dabei in der Von-Neumann'schen Bewegungsgleichung.

Sowohl die Phasenraumfunktionen der kanonischen Mechanik als auch die Operatoren der Quantenmechanik bilden mit ihren Klammern jeweils eine Liealgebra.