Poisson-Prozess

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Pfade von zwei Poissonprozessen mit konstanter Intensität: einmal 2.4 (blau) und 0.6 (rot). Der blaue Prozess hat eine vier mal höhere Intensität und weist auch mit 30 Sprüngen in gezeichneten Zeitintervall [0,14.9] weit mehr auf als der rote (nur 8). Dies sind fast genau vier mal so viele Sprünge, was auch zu erwarten war.

Ein Poisson-Prozess ist ein nach Siméon Denis Poisson benannter stochastischer Prozess.

Der Poisson-Prozess ist ein Erneuerungsprozess dessen Zuwächse unabhängig und poissonverteilt mit Parameter λ sind. λ wird auch als Intensität des Prozesses bezeichnet, da pro Zeiteinheit genau λ Sprünge erwartet (Erwartungswert der Poissonverteilung ist eben λ) werden. Die Höhe jedes Sprunges ist eins, die Wartezeiten zwischen den Sprüngen sind exponentialverteilt. Der Poisson-Prozess ist also ein diskreter Prozess in stetiger Zeit.

Die mit einem Poisson-Prozess beschriebenen seltenen Ereignisse besitzen aber typischerweise ein großes Risiko (als Produkt aus Kosten und Wahrscheinlichkeit). Daher werden damit im Versicherungswesen z.B. Störfälle an komplexen Industrieanlagen, Flutkatastrophen, Flugzeugabstürze, usw. berechnet.

[Bearbeiten] Definition

Ein stochastischer Prozess $(P_{\lambda,t}),\;t\ge 0$ heißt homogener Poisson-Prozess mit der Intensität $λ$ , wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:

$P λ,0 = 0$ und der Pfad des Prozesses ist rechtsseitig stetig (beides fast sicher).
$P_{\lambda,t}-P_{\lambda,s} \sim \mathcal{P}_{\lambda \cdot (t-s)}$ $\forall \, s<t$ . Hierbei bezeichnet $\mathcal{P}_{\lambda\cdot (t-s)}$ die Poisson-Verteilung mit Parameter ${\lambda \cdot (t-s)}$ .
Ist $0 < s < t < u < v$ , so sind $P λ, t - P λ, s$ und $P λ, v - P λ, u$ unabhängige Zufallsvariablen (d.h. der Prozess hat unabhängige Zuwächse).

Ein homogener Poisson-Prozess ist ein Markow-Prozess.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Pfade von zwei kompensierten zusammengesetzten Poisson-Prozessen. Wie oben ist die Intensität (Sprunghäufigkeit) des blauen Prozesses mit 2.4 genau vier mal so hoch wie die des roten Prozesses. Im gezeichneten Intervall [0,35] springt der blaue Prozess 66 mal (erwartet wären 35*2.4=84), der rote 16 mal, also cira vier mal so oft. Bei beiden Prozessen sind die Sprünge normalverteilt mit Mittel 0.25. Diese Sprünge nach oben werden durch den negativen Drift genau so ausgegleichen (kompensiert), dass beide Prozesse Martingale sind. Da der blaue Prozess öfter nach oben springt, ist sein negativer Drift stärker.

Der Zeitraum zwischen zwei Zuwächsen, also $\min \left\{ t | P_{\lambda,t}=n+1 \right\} - \min \left\{ s | P_{\lambda,s}=n \right\}\;\; n \ge 0$ ist exponentialverteilt mit dem Parameter $λ$ .
Ist $P λ, t$ ein Poisson-Prozess, so ist $\hat P_{\lambda,t}=P_{\lambda,t+s}-P_{\lambda,s} \;\; \forall s<t$ ebenfalls ein Poisson-Prozess. Dabei werden nur die Zuwächse betrachtet, die nach $s$ stattfinden.
Für den Erwartungswert gilt $\operatorname{E}(P_{\lambda,t})=\lambda \cdot t$ .
Für die quadratische Variation gilt ebenfalls $<P_{\lambda}>_t=\lambda \cdot t$ .
Da der Pfad des Prozesses monoton steigt, ist $P λ, t$ ein Submartingal bezüglich seiner natürlichen Filtrierung.
Die Pfade des Poisson-Prozesses sind càdlàg, also rechtsstetig mit Grenzwerten links.
Zieht man allerdings den Erwartungswert von $P λ, t$ ab, also $\hat P_{\lambda,t}=P_{\lambda,t}-\lambda \cdot t$ , so ist $\hat P_{\lambda,t}$ ein Martingal bezüglich seiner natürlichen Filtrierung. Dieser neue Prozess wird als kompensierter Poissonprozess bezeichnet.
Ein Poisson-Prozess ist gedächtnislos (Es gilt also P(T>t+s|T>t)=P(T>s), dh die Restwartezeit auf den nächsten Sprung ist unabhängig von der bisherigen Wartezeit; eine Eigenschaft der Exponentialverteilung).
Bedingt auf das Wissen, dass in einem festen Intervall $n$ Sprünge stattgefunden haben, folgen die unbekannten Orte der Sprünge einer stetigen Gleichverteilung auf dem Intervall.

[Bearbeiten] Zusammengesetzte Poisson-Prozesse

Ist $N t$ ein Poisson-Prozess mit Intensität $μ$ sowie $Y_1, Y_2, \ldots$ unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, so wird der stochastische Prozess

$X_t := \sum_{n=1}^{N_t} Y_n$

als zusammengesetzter Poisson-Prozess bezeichnet. Wie der ursprüngliche Poisson-Prozess ist auch X ein Sprungprozess unabhängiger Zuwächse und exponential(µ)-verteilter Abstände zwischen den Sprüngen, jedoch sind die Sprunghöhen nicht mehr konstant eins, sondern nach Y verteilt. Hat Y einen endlichen Erwartungswert, so gilt die Formel von Wald über den Erwartungswert:

$\operatorname{E}(X_t) = \operatorname{E}(N_t) \operatorname{E}(Y_1) = \mu t \operatorname{E}(Y_1) \;\;\forall t \ge 0$

[Bearbeiten] Inhomogener Poisson-Prozess

In manchen Fällen kann es sinnvoll sein, $λ$ nicht als Konstante, sondern als Funktion der Zeit aufzufassen. $λ(t)$ muss dabei die beiden Bedingungen

$λ(t) > 0$ für alle $t\in \mathbb{R}_{+}$ und
$\int_{\tau_1}^{\tau_2} \lambda(t)\, dt <\infty$ für $\tau_1, \tau_2 \in \mathbb{R}_{+}$

erfüllen.

Für einen inhomogenen Poisson-Prozess $(P_{\lambda(t),t})_{t\ge 0}$ gilt abweichend von einem homogenen Poisson-Prozess:

$P_t -P_s \sim \mathcal{P}_{\int_s^t \lambda(u)\, du}$ , wobei $\mathcal{P}$ wieder die Poisson-Verteilung mit dem Parameter $\int_s^t \lambda(u)\, du$ bezeichnet.
Für den Erwartungswert gilt $\operatorname{E}(P_t)=\int_0^t \lambda(u)\, du$ .
Für die Varianz gilt ebenfalls $\operatorname{Var}(P_t)=\int_0^t \lambda(u)\, du$ .
Sind $τ 1$ und $τ 2$ zwei Sprungstellen des inhomogenen Poisson-Prozesses, dann ist $\int_{\tau_1}^{\tau_2} \lambda(t)\, dt$ exponentialverteilt mit dem Parameter 1.

[Bearbeiten] Cox-Prozess

Ein inhomogener Poisson-Prozess mit stochastischer Intensitätsfunktion $λ(t)$ heißt doppelt stochastischer Poisson-Prozess oder nach dem englischen Mathematiker David Cox auch Cox-Prozess. Betrachtet man eine bestimmte Realisierung von $λ(t)$ , verhält sich ein Cox-Prozess wie ein inhomogener Poisson-Prozess. Für den Erwartungswert von $P λ(t), t$ gilt

$\operatorname{E}(P_{\lambda(t),t}) = \operatorname{E}(\int_0^t \lambda(u)\, du)$ .

[Bearbeiten] Anwendungsbeispiele

Allgemein:
- Zählung von gleichverteilten Ereignissen pro Flächen-, Raum- oder Zeitmaß (z.B. Anzahl der Regentropfen auf einer Straße; Anzahl der Sterne in einem Volumen V ist ein dreidimensionaler Poisson-Prozess).
- Bestimmung der Häufigkeit seltener Ereignisse wie Versicherungsfälle, Zerfallsprozesse, Reparaturaufträge.
Bediensysteme:
- die zufällige Anzahl von Telefonanrufen pro Zeiteinheit.
- die zufällige Anzahl der Kunden an einem Schalter pro Zeiteinheit.
- die Zeitpunkte, in denen Anforderungen (Personen, Jobs, Telefonanrufe, Heap,...) bei einem Bediener (Bank, Server, Telefonzentrale, Speicherverwaltung, ... ) eingehen.
Fehler, Ausfälle, Qualitätskontrolle:
- die zufällige Anzahl von nichtkeimenden Samenkörnern aus einer Packung.
- die Orte, an denen ein Faden Noppen hat.
- Anzahl der Pixelfehler auf einem TFT Display.
- Anzahl der Schlaglöcher auf einer Landstraße.
- Anzahl der Druckfehler in einem Buch.
- Anzahl der Unfälle pro Zeiteinheit an einer Kreuzung.
- Auf [1] wird der Versuch unternommen, die Abfolge von Selbstmorden am Massachusetts Institute of Technology als Poisson-Prozess zu modellieren.
Physik:
- die Zeitpunkte, in denen eine radioaktive Substanz ein $α$ -Teilchen emittiert.
- zufällige Anzahl der $α$ -Teilchen, die von einer radioaktiven Substanz in einem bestimmten Zeitraum emittiert werden.
Versicherungsmathematik:
- die Zeitpunkte von Großschäden einer Versicherung. In der Finanz- und Versicherungsmathematik wird das Auftreten von zu deckenden Schäden üblicherweise durch einen zusammengesetzten Poisson-Prozess beschrieben, bei dem die einzelnen, unabhängig voneinander auftretenden Schäden nach Y verteilt sind. Versieht man diesen Schadensprozess dann noch mit einem deterministischen, negativen Drift (Versicherungsbeiträge), so erhält man einen Vermögensprozess des Versicherungsunternehmens. Dem schließen sich Fragestellungen an wie: Wie wahrscheinlich ist es, dass der Vermögensprozess einen gewissen Schwellwert x, dass heißt die Rücklagen der Versicherung, überschreitet und damit einen Konkurs erleidet? Wie stark muss der negative Drift beziehungsweise der Beitragssatz sein, um die Wahrscheinlichkeit eines Konkurses unter eine vorgegebene Schwelle zu drücken?
Finanzmathematik:
- Modelle für Kurse von Aktien, wobei auch Sprünge erlaubt sind. Hierfür werden zwar oft Lévy-Prozesse verwendet, aber da unendliche Aktivität oft schwer zu messen ist, werden auch zusammengesetzte Poissonprozesse verwendet.

[Bearbeiten] Literatur

Ross, Sheldon M.: Stochastic Processes. Wiley, New York.

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Kategorie: Stochastische Prozesse

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[Bearbeiten] Zusammengesetzte Poisson-Prozesse

[Bearbeiten] Inhomogener Poisson-Prozess

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