Regulärer Raum
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In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind reguläre Räume spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften erfüllen.
[Bearbeiten] Definition
Sei X ein topologischer Raum. Wir sagen, dass zwei Teilmengen Y und Z von X durch Umgebungen getrennt sind, falls disjunkte offene Mengen U und V mit 
und 
existieren.
X ist ein regulärer Raum, falls jede abgeschlossene Menge A und jeder nicht in A liegende Punkt x durch Umgebungen getrennt sind.
Hinweis: In der Literatur ist die Bezeichnung regulärer Raum und T3-Raum nicht eindeutig. Gelegentlich sind die Definitionen gegenüber der hier präsentierten Variante vertauscht.
[Bearbeiten] Beziehungen zu anderen Trennungsaxiomen
Jeder reguläre Raum ist präregulär.
Ein topologischer Raum ist genau dann ein regulärer Raum, wenn der Kolmogoroff-Quotient KQ('X') das Trennungsaxiom T3 erfüllt. Insbesondere ist ein regulärer Raum, der T0 erfüllt ein regulärer Hausdorff-Raum. Weiter ist jeder reguläre Hausdorff-Raum auch regulär.
Jeder vollständig reguläre Raum ist auch regulär.
[Bearbeiten] Weitere Eigenschaften
Sei X ein regulärer Raum. Zu einem Punkt x und einer offenen Umgebung U von x existiert eine abgeschlossene Umgebung A von x, die Teilmenge von U ist. Die abgeschlossenen Umgebungen von x bilden also eine Umgebungsbasis von x. Besitzt umgekehrt jeder Punkt x in einem topologischen Raum X eine Umgebungsbasis von abgeschlossenen Mengen, so ist der X regulär.
