Sammelbilderproblem

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Beim Sammelbilderproblem handelt es sich um ein Problem (eine Übungsaufgabe) aus dem Bereich der Stochastik. Bei diesem Problem gibt es eine feste Anzahl von Sammelbildern, die auf eine gewissen Art und Weise verpackt werden (z.B. immer sechs Stück in ein Päckchen). Die Frage ist nun, wie viele solche Päckchen gekauft werden müssen, bis man alle Bilder besitzt.

[Bearbeiten] Beispielaufgabe

Eine einfaches Beispiel ist z.B. die folgende Aufgabenstellung:

[Bearbeiten] Aufgabe

Es gibt 150 verschiedene Motive auf den Pokémon-Karten, die man kaufen muss ohne die Motive zu kennen (Die Karten sind einzeln verpackt!). Wenn man davon ausgeht, dass vom Hersteller jedes Motiv gleich oft verpackt wird, wieviele Karten müssen die Eltern ihrem Kind im Durchschnitt kaufen bis es alle Motive besitzt?

[Bearbeiten] Lösung

Wir definieren zuerst den Ergebnisraum:

$\Omega:=\{\omega=(\omega_1,\omega_2,\dots)\,:\, \omega_i\in \{1,2,\dots,150\}\,\}$

Nun definieren wir Zufallsvariablen $X i (ω)$ . Diese Zufallsvariable soll jedem Ergebnis $\omega\in\Omega$ die Anzahl der Käufe zuordnen, die gemacht werden müssen, um nach der (i-1)-ten verschiedenen Karte wieder eine neue verschiedene i-te Karte zu bekommen.

Hierzu ein Beispiel:

$\omega=(11,11,30,11,30,30,7,\dots)$

Dann ist $X 3 = 4$ , da als erstes die Karte mit Nr 11 gekauft wird. Die nächste verschiedene Karte trägt die Nr 30. Danach sind noch vier Käufe nötig, bis eine neue (die dritte) verschiedene Karte erworben wird. Diese neue Karte hat die Nr 7.

Nun bestimmen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X i = 1$ ist, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei jedem Kauf eine noch nicht vorhandene Karte erworben wird. $P (X 1 = 1) = 1$ , da vor dem ersten Kauf keine Karten vorhanden sind. Dann ist $P (X 2 = 1) = 149 / 150$ . Nur die bereits erworbene (erste) Karte wäre doppelt vorhanden. Führen wir diese Überlegung weiter, so finden wir schließlich allgemein:

$P(X_i=1)=\frac{150-i+1}{150}$

Wir nehmen an, dass diese Zufallsvariable geometrisch verteilt ist. Dann ergibt sich:

$P(X_i=k)=\left(\frac{i-1}{150}\right)^{k-1}\, \left(\frac{150-i+1}{150}\right)$

Als Erwartungswert für $X i$ erhalten wir:

$E\left(X_i\right)=\frac{150}{151-i}$

Definieren wir nun eine neue Zufallsvariable

$X:=\sum\limits_{i=1}^{150} X_i$

die angibt, wieviele Käufe gemacht werden müssen um alle 150 Karten zu besitzen. Da die einzelnen Erwartungswerte der $X i$ existieren, existiert auch der Erwartungswert für die neue Zufallsvariable:

$E(X)=\sum\limits_{i=1}^{150} E(X_i)\approx 838,677$