Sattelfläche
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Als Sattelfläche wird in der Geometrie eine Regelfläche bezeichnet, die in den beiden Hauptrichtungen entgegengesetzt gekrümmt ist. Ihr Name kommt vom Pferde-Sattel bzw. dem Sattel im Gelände, der gleichzeitig einen Übergang zwischen zwei Bergen und zwei Tälern darstellt.
Eine regelmäßige Sattelfläche entspricht dem hyperbolischen Paraboloid. Eine solche Fläche entsteht in etwa, wenn ein elastisches quadratisches Band oder eine Schilfmatte an 2 Rändern eingespannt und gegeneinander verdreht wird. Obwohl in beiden Richtungen unterschiedlich gekrümmt, kann die Fläche durch eine Schar von Geraden dargestellt werden.
Ein Dreieck auf einer Sattelfläche hat - im Gegensatz zu einem sphärischen Dreieck - eine Winkelsumme unter 180°. Nebenstehende Skizzen zeigen die spitzer werdenden Winkel am Sattel bzw. die stumpfer werdenden Winkel auf einer Kugelfläche. Die Seiten beider Dreiecke sind geodätische Linien (also kürzeste Verbindungslinien) der jeweiligen Fläche.
Analytisch ist die Sattelfläche der geometrische Ort aller Punkte, die gleichen Abstand von zwei zueinander windschiefen Geraden haben. Sie ist eine Regelfläche zweiter (?) Ordnung, aber nicht abwickelbar - siehe die ersten zwei unten angeführten Websites.
Das Krümmungsmaß der Sattelfläche ist negativ, jenes auf Kugel oder Ellipsoid positiv. Deshalb ist die Geometrie auf beiden nichteuklidisch.
Die Ebene hat Krümmungsmaß Null und euklidische Geometrie.
Die zwei gekrümmten Flächentypen mit entgegengesetzten Eigenschaften haben aber gemeinsam, dass
a) auf ihnen das Euklid-sche Parallelen-Axiom nicht gilt, und
b) die Winkelsumme von Dreiecken von 180° abweicht (negativ bzw. positiv).
Sie werden häufig - z. B. in der Kosmologie - als dreidimensionale Veranschaulichung von vierdimensionalen Effekten wie der Raumkrümmung verwendet. Dabei entspricht die Sphäre einem "geschlossenen", die Sattelfläche einem "offenen" Universum.
