Satz von Hahn-Banach

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Der Satz von Hahn-Banach (nach Hans Hahn und Stefan Banach) aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis zeigt in einem gewissen Sinne, dass man auch in bestimmten unendlichdimensionalen Vektorräumen, den Banachräumen, mit Koordinaten rechnen kann.

Stellt man Vektoren eines endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraums $X$ in der Form eines Zeilenvektors $(v_1,\ldots,v_n)$ dar, so kann man die jeweiligen $i$ -ten Einträge dieser Zeilenvektoren als Funktionen

$x_i\colon X\to\mathbb K,\quad (v_1,\ldots,v_n)\mapsto v_i$

auffassen (dabei sei $\mathbb K$ der Grundkörper $\mathbb R$ bzw. $\mathbb C$ ). Ein wesentlicher Teil der Bedeutung einer Koordinatendarstellung liegt nun darin, dass zwei Vektoren genau dann gleich sind, wenn alle ihre Koordinaten übereinstimmen:

$v=w\iff x_i(v)=x_i(w)\ \mathrm{f\ddot ur}\ i=1,\ldots,n.$

Umgekehrt kann man sagen, dass die Koordinatenfunktionen Punkte trennen, d.h. sind $v \neq w$ verschiedene Vektoren, dann gibt es einen Index $i$ , so dass $x_i(v) \neq x_i(w)$ ist.

Der Satz von Hahn-Banach impliziert, dass die Menge aller stetigen linearen Funktionale auf einem Banachraum Punkte trennt, d.h. zu je zwei verschiedenen Elementen $v \neq w$ eines Banachraums gibt es ein stetiges lineares Funktional, d.h. eine stetige Abbildung

$\Lambda\colon X\to\mathbb K$ ,

so dass $\Lambda(v) \neq \Lambda(w)$ gilt.

[Bearbeiten] Formulierung

Es sei $X$ ein Vektorraum über $\mathbb K$ (dabei sei $\mathbb K=\mathbb R$ oder $\mathbb K=\mathbb C$ ).

Eine Abbildung

$p\colon X\to\mathbb R$

heißt sublinear, wenn die Bedingungen

$p(x+y)\leq p(x)+p(y)$
$p(\lambda x)=|\lambda|\cdot p(x)$

für $x,y\in X$ und $\lambda\in\mathbb K$ gelten.

Es seien nun

$Y\subseteq X$ ein Teilraum;
$p\colon X\to\mathbb R$ sublinear;
$\Lambda\colon Y\to\mathbb K$ ein lineares Funktional, für das $|\Lambda(y)|\leq p(y)$ für alle $y\in Y$ gilt.

Dann gibt es ein lineares Funktional $\tilde\Lambda\colon X\to\mathbb K$ , so dass

$\tilde\Lambda|_Y=\Lambda$

und

$|\tilde\Lambda(x)|\leq p(x)$

gilt.

[Bearbeiten] Korollare

Häufig ist eine der folgenden Aussagen gemeint, wenn der »Satz von Hahn-Banach« zitiert wird:

Ist $X$ ein normierter Raum, so gibt es für jedes $x\in X$ ein lineares Funktional $Λ$ mit Norm 1, für das $\Lambda(x)=\|x\|$ gilt.
Ist allgemeiner $X$ ein normierter Raum, $U$ ein Unterraum, und liegt $x\in X$ nicht im Abschluss von $U$ , so gibt es ein lineares Funktional $Λ$ mit Norm 1, das auf $U$ verschwindet und für das $\Lambda(x)=\|x\|$ gilt.
Ist $X$ ein normierter Raum, $Y$ ein Teilraum und $Λ$ ein stetiges lineares Funktional auf $Y$ , so kann $Λ$ zu einem stetigen linearen Funktional derselben Norm auf ganz $X$ fortgesetzt werden. Anders ausgedrückt: die Einschränkung von Funktionalen ist eine surjektive Abbildung $X^*\to Y^*$ der Dualräume.

[Bearbeiten] Literatur

Hans Hahn: Über lineare Gleichungssysteme in linearen Räumen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 157 (1927), p. 214-229.
Stefan Banach: Sur les fonctionelles linéaires. In: Studia Mathematica 1 (1929), p. 211-216.

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Kategorien: Funktionalanalysis | Satz (Mathematik)