Satz von Hellinger-Toeplitz
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Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Er ist nach den Mathematikern Ernst Hellinger und Otto Toeplitz benannt.
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[Bearbeiten] Formulierung
Es seien H ein Hilbertraum und 
ein symmetrischer (hermitescher) linearer Operator, das heißt, ein Operator, der für alle 
die Gleichung
erfüllt. Dann ist T stetig.
[Bearbeiten] Beweis
Nach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen ist es hinreichend, folgendes zu zeigen: Ist 
eine Nullfolge und 
. dann ist y = 0. Verwendet man die Stetigkeit des Skalarproduktes auf H, dann folgt
also y = 0.
[Bearbeiten] Folgerungen
- Da der Operator T linear und stetig ist, ist er auch beschränkt.
- Jeder symmetrische (hermitesche), überall auf H definierte Operator ist selbstadjungiert.
- Unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren können höchstens auf einer dichten Teilmenge eines Hilbertraums definiert sein.
[Bearbeiten] Literatur
- Dirk Werner: Funktionalanalysis (Springer, 5. Auflage 2005)
