Satz von Varignon

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Der Satz von Varignon beschreibt in der Geometrie eine Eigenschaft von Vierecken. Namensgeber ist Pierre de Varignon (1654-1722).

Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 1.1 Beweis 1.1.1 Voraussetzung 1.1.2 Behauptung 1.1.3 Gang des Beweises 2 Folgerungen 2.1 Umfang des Varignon-Parallelogramms 2.2 Fläche des Varignon-Parallelogramms 3 Weblinks

[Bearbeiten] Formulierung

Wenn man die Mitten benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm.

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Voraussetzung

[Bearbeiten] Behauptung

Das Viereck EFGH ist ein Parallelogramm.

[Bearbeiten] Gang des Beweises

1. Betrachte das Haus. Nimmt man B als Streckzentrum einer zentrischen Streckung, werden A auf E und C auf F mit Streckfaktor ½ abgebildet. Nach den Abbildungseigenschaften der zentrischen Streckung – Bildgerade und Urgerade sind parallel – folgt AC || EF.
2. Ebenso zeigt man, dass AC || GH, BD || FG, und BD|| HE.
3. Die Parallelität ist transitiv. Also ist EF || HG und FG || HE.

Die gegenüber liegenden Seiten des Vierecks EFGH sind parallel, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.

[Bearbeiten] Folgerungen

[Bearbeiten] Umfang des Varignon-Parallelogramms

Der Umfang des Varignon-Parallelogramms ist genau so groß wie die Summe der Diagonalen im Ursprungsviereck.

[Bearbeiten] Fläche des Varignon-Parallelogramms

Die Fläche des Varignon-Parallelogramms ist halb so groß wie die Fläche des Ursprungsvierecks.

[Bearbeiten] Weblinks

• Satz von Varignon mit Java-Animationen