Schriftliches Wurzelziehen
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Schriftliches Wurzelziehen ist eine Methode, mit Stift und Papier die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl zu berechnen. Das Verfahren, das dem schriftlichen Dividieren ähnelt, beruht auf den binomischen Formeln und liefert bei jedem Rechenschritt eine Stelle des Ergebnisses, kommt also ohne Näherungsverfahren aus.
In der Schule wird das schriftliche Wurzelziehen heute kaum noch gelehrt, auch in früherer Zeit wurde es nur selten angewandt, die Gründe sind zum einen die geringere praktische Bedeutung des Wurzelziehens im Gegensatz zu den Grundrechenarten, zum anderen sind iterative Verfahren wie das Babylonische Wurzelziehen einfacher auszuführen und liefern meist schneller eine ausreichende Genauigkeit.
Es ist ebenfalls möglich, die Kubikwurzel schriftlich zu ziehen. Diese noch seltener angewandte Methode ist eine Erweiterung des gleichen Prinzips wie beim Ziehen der Quadratwurzel.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Verfahren
Der Radikand wird zunächst von rechts in Gruppen zu je zwei Stellen unterteilt. Die vorderste (ein- oder zweistellige) Gruppe liefert die erste Stelle des Ergebnisses, indem die größte einstellige Zahl gesucht wird, deren Quadrat nicht größer als diese Zahl ist. Das Quadrat wird von der vordersten Gruppe subtrahiert, die Differenz in die nächste Zeile geschrieben und mit der nächsten Zweiergruppe des Radikanden ergänzt.
Für die Ermittlung der nächsten (und jeder weiteren) Stelle kommt die erste binomische Formel zum Einsatz: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. b ist die gesuchte nächste Stelle, a das bisherige Ergebnis, zur stellengerechten Darstellung mit einer angehängten Null. a² wurde bereits durch die vorherigen Schritte vom Radikand subtrahiert, um an das Ergebnis die Stelle b anhängen zu können müssen jetzt die Glieder 2ab und b² subtrahiert werden.
Die oben ermittelte Zahl wird also durch 2a dividiert, das Ergebnis ist b, der Rest darf allerdings nicht kleiner als b² sein. Nach Subtraktion von 2ab und b² wird die nächste Zweiergruppe des Radikanden hinzugezogen und der nächste Rechenschritt in gleicher Weise ausgeführt. Beendet ist das Verfahren entweder, wenn der Radikand durch die wiederholten Subtraktionen auf Null reduziert werden konnte (dann ist der Radikand eine Quadratzahl) oder das Ergebnis eine ausreichende Genauigkeit aufweist (als Nachkommastellen des Radikanden können beliebig viele Nullen angehängt werden).
[Bearbeiten] Darstellung mittels eines konkreten Beispiels
Es soll die Wurzel aus 2916 bestimmt werden:
______ √ 29 16 = ?
Die größte Quadratzahl, die in 29 passt, ist 25: 5 * 5=25. Die erste Stelle des Ergebnisses ist also 5. 29 - 25 = 4. Zu der Zahl 4 fügt man die hinteren beiden Ziffern 16 und erhält also 416:
______ √ 29 16 = 5 25 4 16
Um die zweite Ergebnisziffer zu erhalten (b), muss man durch 2a (in diesem Falle also 2 * 50 = 100) teilen, wobei ein ausreichender Rest bleiben muss: 416 / 100 = 4 mit Rest 16. Der Rest 16 entspricht 4², die Berechnung geht also auf Null auf, da 2916 eine Quadratzahl ist.
______
√ 29 16 = 54
-25
__
4 16
-4 00
- 16
____
0
Ähnlich dem schriftlichen Dividieren wird hier die stellengerecht eingerückte Darstellung genutzt, um die Berechnung auf die gerade relevanten Stellen zu konzentrieren.
Durch das "Aufgehen" der Rechnung lässt sich bei diesem Verfahren ohne Proberechnung herausfinden, ob der Radikand tatsächlich eine Quadratzahl war, iterative Verfahren liefern dagegen immer nur einen Näherungswert.
Das Babylonische Wurzelziehen (Heron-Verfahren) auf das Beispiel 2916 angewandt liefert bei Wahl von 50 als Startwert die Reihe:
x0 = 50
x1 = 54,16
x2 = 54,00023
Bei der Wahl von 2916 als Startwert müssen dagegen etwa zehn Rechenschritte für ein vergleichbares Ergebnis ausgeführt werden.
[Bearbeiten] Beispiele
[Bearbeiten] Quadratwurzel aus 2 binär
1. 0 1 1 0 1
------------------
/ 10.00 00 00 00 00 1
/\/ 1 + 1
----- ----
1 00 100
0 + 0
-------- -----
1 00 00 1001
10 01 + 1
----------- ------
1 11 00 10101
1 01 01 + 1
---------- -------
1 11 00 101100
0 + 0
---------- --------
1 11 00 00 1011001
1 01 10 01 1
----------
1 01 11 remainder
[Bearbeiten] Quadratwurzel aus 3
1. 7 3 2 0 5
----------------------
/ 3.00 00 00 00 00
/\/ 1 = 20*0*1+1^2
-
2 00
1 89 = 20*1*7+7^2
----
11 00
10 29 = 20*17*3+3^2
-----
71 00
69 24 = 20*173*2+2^2
-----
1 76 00
0 = 20*1732*0+0^2
-------
1 76 00 00
1 73 20 25 = 20*17320*5+5^2
----------
2 79 75
[Bearbeiten] Kubikwurzel aus 5
1. 7 0 9 9 7
----------------------
3/ 5.000 000 000 000 000
/\/ 1 = 300*(0^2)*1+30*0*(1^2)+1^3
-
4 000
3 913 = 300*(1^2)*7+30*1*(7^2)+7^3
-----
87 000
0 = 300*(17^2)*0+30*17*(0^2)+0^3
-------
87 000 000
78 443 829 = 300*(170^2)*9+30*170*(9^2)+9^3
----------
8 556 171 000
7 889 992 299 = 300*(1709^2)*9+30*1709*(9^2)+9^3
-------------
666 178 701 000
614 014 317 973 = 300*(17099^2)*7+30*17099*(7^2)+7^3
---------------
52 164 383 027
[Bearbeiten] Vierte Wurzel aus 7
1. 6 2 6 5 7
---------------------------
4/ 7.0000 0000 0000 0000 0000
/\/ 1 = 4000*(0^3)*1+600*(0^2)*(1^2)+40*0*(1^3)+1^4
-
6 0000
5 5536 = 4000*(1^3)*6+600*(1^2)*(6^2)+40*1*(6^3)+6^4
------
4464 0000
3338 7536 = 4000*(16^3)*2+600*(16^2)*(2^2)+40*16*(2^3)+2^4
---------
1125 2464 0000
1026 0494 3376 = 4000*(162^3)*6+600*(162^2)*(6^2)+40*162*(6^3)+6^4
--------------
99 1969 6624 0000
86 0185 1379 0625 = 4000*(1626^3)*5+600*(1626^2)*(5^2)+
----------------- 40*1626*(5^3)+5^4
13 1784 5244 9375 0000
12 0489 2414 6927 3201 = 4000*(16265^3)*7+600*(16265^2)*(7^2)+
---------------------- 40*16265*(7^3)+7^4
1 1295 2830 2447 6799
[Bearbeiten] Weblinks
- http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/wurzelziehen.htm ausführliche Erklärung des Algorithmus
- http://www.tinohempel.de/info/mathe/wurzel/wurzel.htm dito
- http://www-public.tu-bs.de:8080/~y0004251/kwurzel.htm Das schriftliche Ziehen von Kubikwurzeln
- http://www.youtube.com/watch?v=TGwx4TUy_g0 Schriftliches Ziehen der Quadratwurzel als Video
