Schwerpunkt

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Der Schwerpunkt, das Gravizentrum (engl. Center of Gravity - COG) eines Körpers ist sein Mittelpunkt in Bezug auf die Schwerkraft. Davon abgeleitet wird der Begriff auch in der Geometrie und im übertragenen Sinn verwendet.

[Bearbeiten] Physikalischer Schwerpunkt

Im Sinne der klassischen Mechanik ist der Schwerpunkt der Punkt, an dem die Masse des Körpers die gleiche Wirkung auf andere Körper hätte, wenn sie in diesem Punkt vereint wäre. Umgekehrt kann man die Gravitation, die auf alle Massenpunkte des Körpers wirkt, durch eine einzige Kraft darstellen, die im Schwerpunkt angreift.

Wenn ein Körper weit genug von anderen Körpern entfernt ist bzw. wenn er sehr klein ist im Vergleich zum anziehenden Körper, dann kann man den Körper als Massenpunkt annähern, dessen Masse im Schwerpunkt vereinigt ist. Das gilt zum Beispiel für einzelne Planeten im Weltraum oder für Gegenstände auf der Erdoberfläche. Wenn sich die Stärke des Gravitationsfeldes nur wenig ändert, so dass sie über der ganzen Ausdehnung des Körpers als konstant angenommen werden kann, dann fällt der Schwerpunkt mit dem Massenmittelpunkt zusammen. Das gilt zum Beispiel für Körper auf der Erdoberfläche oder Satelliten in einer Umlaufbahn, nicht aber für den Mond oder auch die Erde in Bezug auf das Gravitationsfeld des Mondes. In der Nähe eines Schwarzen Loches würde selbst für einen kleinen Körper wie ein Raumschiff oder sogar einen Menschen das Gravitationsfeld merklich verschieden sein für verschiedene Teile des Körpers. In einem solchen Fall treten Gezeitenkräfte auf.

Ist ein Körper homogen, besteht er also aus einem Material, das überall die gleiche Dichte hat, so entspricht sein Massenschwerpunkt dem geometrischen Volumenschwerpunkt, der weiter unten erklärt wird. Besteht der Körper aus Teilen verschiedener Dichte, kann der Massenschwerpunkt vom Volumenschwerpunkt abweichen. Wenn die Verteilung der Dichte innerhalb des Körpers bekannt ist, kann der Schwerpunkt durch Integration berechnet werden. Dies war der Anlass, aus dem Isaac Newton die Infinitesimalrechnung entwickelte (gleichzeitig mit Leibniz).

Der Trägheitsschwerpunkt eines Körpers, also der Mittelpunkt bezüglich des Trägheitsmoments, fällt mit seinem Massenmittelpunkt zusammen. Er kann also bei einem ausgedehnten Körper bzw. in einem sich über kurze Entfernungen ändernden Gravitationsfeld vom Schwerpunkt abweichen.

In der Himmelsmechanik bezeichnet man den Massenschwerpunkt eines Systems von mehreren Himmelskörpern als Baryzentrum. Im Schwerpunktsystem wird der Schwerpunkt als Koordinatenursprung verwendet. Siehe auch: Mehrkörper-System

[Bearbeiten] Geometrischer Schwerpunkt

Den Schwerpunkt einer Fläche oder eines Körpers kann man mit Mitteln der Mathematik, der Geometrie, ausrechnen, oder, wenn die Fläche bzw. der Körper aus homogenem Material hergestellt wird, rein mechanisch durch Balancieren bestimmen. Letztere Methode wird oft (an Modellen) angewandt, wenn es um geografische Mittelpunkte von Kontinenten oder Ländern geht (z. B. Mittelpunkt Europas, Mittelpunkt Deutschlands).

[Bearbeiten] Beispiele geometrischer Flächen

[Bearbeiten] Ebene Flächen

Bei ebenen Flächen lässt sich der Schwerpunkt allgemein dadurch ermitteln, dass man die ausgeschnittene Fläche an einem Punkt aufhängt und die Lotgerade, eine sogenannte Schwerelinie einzeichnet. Der Schnittpunkt zweier Schwerelinien ist der Schwerpunkt. Alle weiteren Schwerelinien schneiden sich ebenfalls im Schwerpunkt.

Dreieck	$y_s=\frac{h}{3},x_s=\frac{b+\xi}{3}$ >, Der Schwerpunkt eines Dreiecks liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Man nennt sie daher auch Schwerelinien. Trilineare Koordinaten: $\frac{1}{a} \, : \, \frac{1}{b} \, : \, \frac{1}{c}$ $= \, bc \, : \, ca \, : \, ab$ $= \, \csc\alpha \, : \, \csc\beta \, : \, \csc\gamma$ Baryzentrische Koordinaten: $1 \, : \, 1 \, : \, 1$
Trapez	Der Schwerpunkt des Trapezes lässt sich folgendermaßen konstruieren: Eine Schwerelinie halbiert die beiden parallelen Seiten. Eine zweite erhält man, indem man die parallelen Seiten um die Länge der jeweils anderen in entgegengesetzten Richtungen verlängert, und die beiden Endpunkte miteinander verbindet. Die Formel in kartesischen Koordinaten lautet: $y_s=\frac{h}{3}\cdot \frac{a+2b}{a+b}, x_s=\frac{a^2-b^2+\xi(a+2b)}{3(a+b)}$
Halbkreis	$y_s=\frac{4r}{3\pi}$

[Bearbeiten] Räumliche (gekrümmte) Flächen

Mantel von Pyramide und Kegel: $z_s=\frac{h}{4}$
Schwerpunkt eines Rotationsparaboloids: $y_s=\frac{h}{3}$

[Bearbeiten] Schwerpunkt einer Linie

beliebiger flacher Bogen: $z_s\approx\frac{2h}{3}$
Kreisbogen: $y_s=\frac{r\sin\alpha}{\alpha}=\frac{rl}{b}$

Siehe auch: Rotationsfläche, Rotationskörper

[Bearbeiten] Zusammenfassen von Schwerpunkten

Es ist möglich, mehrere Schwerpunkte einzelner einfacher Elemente zu einem gemeinsamen Schwerpunkt zusammenzufassen.

1-dimensional	2-dimensional	3-dimensional	allgemein
$x_s=\frac{\sum\limits_i (x_{s,i} \cdot l_i)}{\sum\limits_i l_i}$	$x_s=\frac{\sum\limits_i (x_{s,i} \cdot A_i)}{\sum\limits_i A_i}$ $y_s=\frac{\sum\limits_i (y_{s,i} \cdot A_i)}{\sum\limits_i A_i}$	$x_s=\frac{\sum\limits_i (x_{s,i} \cdot V_i)}{\sum\limits_i V_i}$ $y_s=\frac{\sum\limits_i (y_{s,i} \cdot V_i)}{\sum\limits_i V_i}$ $z_s=\frac{\sum\limits_i (z_{s,i} \cdot V_i)}{\sum\limits_i V_i}$	$\vec{r}_s=\frac{1}{m}\sum\limits_i \vec{r}_i m_i$

Der Abstand $x s$ (bzw. $y s$ , $z s$ ) ist jener von einem frei wählbaren Koordinatenursprung. Weist eine Fläche (ein Körper) Aussparungen auf, so können obige Summenformeln ebenfalls angewendet werden, jedoch muss beachtet werden, dass die ausgesparten Flächen (Volumen) mit negativem Vorzeichen in die Berechnung mit eingehen.

[Bearbeiten] Schwerpunkt von Flächen und Körpern, deren Begrenzung durch den Graphen einer Funktion gegeben ist

In den vorherigen Abschnitten wurden ausschließlich Flächen und Körper behandelt, deren Gestalt bestimmten geometrischen Grundformen entspricht. Wenn dieser Sachverhalt nicht gegeben ist und die Begrenzung von Körpern bzw. Flächen durch Graphen von Funktionen gegeben sind, so kommt zur Berechnung der Schwerpunktskoordinaten die Integralrechnung zur Anwendung.

Dann gilt:

2-dimensional	3-dimensional
$x_s=\frac{1}{A}\int_A x dA$ $y_s=\frac{1}{A}\int_A y dA$	$x_s=\frac{1}{V}\int_V x dV$ $y_s=\frac{1}{V}\int_V y dV$ $z_s=\frac{1}{V}\int_V z dV$

Zur praktischen Bestimmung der x-Koordinate des Schwerpunktes im 2-dimensionalen Fall substituiert man $d A$ mit $y\cdot dx$ , was einem infinitesimalen Flächenstreifen entspricht. Ferner entspricht hierbei $y$ der die Fläche begrenzende Funktion $y (x)$ .

Für die praktische Berechnung der y-Koordinate im 2-dimensionalen Fall gibt es prinzipiell zwei Vorgehensweisen:

entweder man bildet Umkehrfunktion $x (y)$ und berechnet das Integral $\int_A y dA = \int_y y\cdot x(y)\cdot dy$ , wobei die "neuen" Integrationsgrenzen nun auf der y-Achse zu finden sind.
oder man nutzt aus, dass der Schwerpunkt eines jeden zur y-Achse parallelen infinitesimalen Flächenstreifen $\frac{y(x)}{2}$ ist. Dann erhält man zur Bestimmung der y-Koordinate eine einfachere Formel, mit deren Hilfe das Bilden der Umkehrfunktion erspart bleibt:

$y_s=\frac{1}{A}\int_A y dA = \frac{1}{A}\int_x y\cdot\frac{y}{2}\cdot dx$

[Bearbeiten] Beispiel: Schwerpunkt einer Parabel

Wir suchen den Flächenschwerpunkt jener Fläche, die durch eine Parabel $y 1 = x 2 - 4$ und durch die x-Achse definiert ist.

Zuerst bestimmen wir den Inhalt A der Fläche: $A = \int\limits_{-2}^{2} (x^2-4)\, \mathrm{d}x = -10\frac{2}{3}$

Die x-Koordinate des Schwerpunktes ergibt sich zu: $x_s = \frac{1}{A}\int\limits_{-2}^{2} x\cdot (x^2-4)\, \mathrm{d}x = 0$

Die y-Koordinate ergibt sich zu: $y_s = \frac{1}{A}\int\limits_{-2}^{2} y\cdot\frac{y}{2}\, \mathrm{d}x = \frac{1}{2A}\int\limits_{-2}^{2} y^2\, \mathrm{d}x = \frac{1}{2A}\int\limits_{-2}^{2} (x^4-8x^2+16)\, \mathrm{d}x = -1{,}6$