Sekantenverfahren

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Bei dem Sekantenverfahren handelt es sich um ein schon seit dem Mittelalter bekanntes numerisches Verfahren zur näherungsweisen Lösung einer reellen Gleichung des Typs f(x) = 0. Es entspricht einer Vereinfachung des Newton-Verfahrens, welche sich allerdings nicht auf mehrdimensionale Gleichungen übertragen lässt

[Bearbeiten] Verfahren

Zwischen zwei Punkten der Funktion wird eine Sekante gelegt. Der Schnittpunkt der Sekante mit der X-Achse wird als verbesserter Startwert für die Iteration verwendet. Mit dem neuen Wert und dem alten Wert wird dieser Schritt wiederholt. Die folgende Animation zeigt, wie mit den Startwerten $x 1$ und $x 2$ weitere Punkte konstruiert werden.

[Bearbeiten] Konstruktion am Graphen

Das Verfahren verwendet folgende Iterationsvorschrift:

$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1}) } \cdot f(x_n)$

Dabei wird mit zwei Näherungswerten $x_0, x_1 \,$ begonnen.

[Bearbeiten] Herleitung aus dem Newton-Verfahren

Das Verfahren lässt sich aus dem Newtonschen Näherungsverfahren mit der Iterationsvorschrift

$x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$

herleiten, indem man die Ableitung f'(x) durch den Differenzenquotienten

$f'(x_i) \approx \frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i - x_{i-1}}$

ersetzt.

[Bearbeiten] Konvergenz

Aufgrund der Verwandtschaft zum Newtonschen Verfahren gelten für die Konvergenz des Sekantenverfahrens ähnliche Bedingungen:

Das Sekantenverfahren konvergiert superlinear mit Konstanten 1,618, (dies entspricht dem Verhältnis des goldenen Schnittes), d.h. die Zahl der korrekten Stellen des Näherungswertes erhöht sich pro Durchgang um mehr als eine. Dies hängt damit zusammen, dass der Differenzenquotient nur eine Näherung für die Ableitung ist, entsprechend geringer ist die Konvergenz im Vergleich zum quadratisch konvergenten Newton-Verfahren.

Für die Startwerte $\, x_0, x_1$ der Iteration sollte $f(x_0) \cdot f(x_1) < 0$ (Wechsel des Vorzeichens) gelten. Dadurch ist sicher, dass das Verfahren eine Nullstelle findet (Regula Falsi).

Die Funktion f muss im Definitionsbereich stetig verlaufen und genau eine Nullstelle besitzen.

Das Verfahren verliert an Genauigkeit und Konvergenzgeschwindigkeit, wenn die Ableitung f'(x) an der Nullstelle 0 wird, da sich in der Berechnung ein Ausdruck der Form $x_{n+1} = x_n - \frac{0}{0} \cdot f(x_n)$ ergibt. Speziell bei Polynomen entspricht dies einer mehrfachen Nullstelle.

Bei der numerischen Berechnung stellt sich das Problem, dass der Differenzenquotient

$\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i - x_{i-1}}$

mit zunehmender Annäherung an die Nullstelle durch Auslöschung der Ziffern in die Form 0/0 übergeht. Während das Verfahren selbst die Abschätzung für die Nullstelle immer weiter verbessern könnte, wird in der tatsächlichen Berechnung dieser Gewinn in der Nähe der Nullstelle durch zunehmende Rundungsfehler überkompensiert. Dadurch lässt sich auf Rechnern mit endlicher Stellenzahl prinzipiell mit dem Sekantenverfahren nicht die Genauigkeit des Newtonschen Verfahrens erreichen.

[Bearbeiten] Vorteile des Verfahrens

Gegenüber dem Newtonschen Verfahren ergeben sich mehrere Vorteile:

Es müssen nur die Funktionswerte berechnet werden. Im Gegensatz zur Newton-Iteration können damit die Nullstellen jeder beliebigen, hinreichend glatten Funktion auch ohne Kenntnis oder Berechnung der Ableitungen berechnet werden.

Je Iterationsschritt muss nur die Funktion f(x) einmal berechnet werden. Beim Newtonverfahren muss zusätzlich auch noch der Funktionswert der Ableitung f'(x) bestimmt werden.

Durch die Vorgabe von zwei Startwerten lässt sich das Verfahren besser auf ein bestimmtes Intervall fokussieren, da die Richtung der Sekante durch die beiden Startwerte vorgegeben wird. Die Konvergenz kann dadurch allerdings nicht erzwungen werden.