Sobel-Operator

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Der Sobel-Operator ist ein einfacher Kantendetektions-Filter der Bildverarbeitung. Hier wird die erste Ableitung der Bildpunkt-Helligkeitswerte mit einer gleichzeitigen Glättung berechnet.

$\begin{matrix} \mathbf{S_x} & = & \mathbf{D_{2x}B_y^{2}}\\ & = & \ ^{-}D_{x} ^{1}B_xB_y^2\\ & = & \begin{bmatrix}1_{\bullet} & -1 \end{bmatrix}* 1/2 \begin{bmatrix} 1 & 1_{\bullet} \end{bmatrix} * \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\\ & = & 1/2 \begin{bmatrix}1 & 0 & -1\end{bmatrix}\frac{1}{4}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\\ & = & \frac{1}{8}\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \end{matrix}$		$\begin{matrix} \mathbf{S_y} & = & \mathbf{D_{2y}B_x^2}\\ & = & \ ^{-}D_{y}^{1}B_{y}B_x^2\\ & = & \begin{bmatrix}1_{\bullet} \\ -1 \end{bmatrix} 1/2 \begin{bmatrix}1 \\ 1_{\bullet} \end{bmatrix} \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\\ & = & 1/2 \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\\ & = & \frac{1}{8}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & -1 \end{bmatrix} \end{matrix}$ ^[1]

Die Vorfaktoren stellen hierbei nur eine Normierung dar und werden daher auch teilweise in der Literatur weggelassen.

Der Operator nutzt zur Faltung eine 3×3-Matrix (Faltungsmatrix), die aus dem Originalbild ein Gradienten-Bild erzeugt. Mit diesen werden hohe Frequenzen im Bild mit Grauwerten dargestellt. Die Bereiche der größten Intensität sind dort, wo die Helligkeit des Originalbildes sich am stärksten ändert und somit die größten Kanten darstellt. Daher wird zumeist nach der Faltung mit dem Sobeloperator eine Schwellwert Funktion angewandt.

Wenn wir das Originalbild als Matrix $\mathbf{A}$ definieren, dann können wir folgende Faltung berechnen:

$\mathbf{G_x}=\mathbf{S_x}*A = \frac{1}{8}\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} * \mathbf{A} \ \textrm{und}$
$\mathbf{G_y}=\mathbf{S_y}*A = \frac{1}{8}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & -1 \end{bmatrix} * \mathbf{A}$

Eine richtungsunabhängige Information kann man durch die Kombination beider Ergebnisse erhalten: $\mathbf{G} = \sqrt{ \mathbf{G_x}^2 + \mathbf{G_y}^2 }$

Folgendermaßen erhält man die Richtung eines Gradienten: $\mathbf{\Theta} = \operatorname{arctan}\left({ \mathbf{G_y} \over \mathbf{G_x} }\right)$

Hierbei beschreibt der Wert $Θ = 0$ eine vertikale Kante. Positive Werte beschreiben eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn.

[Bearbeiten] Beispielbilder

Originalbild "Camera Obscura", das zur weiteren Berechnung genommen wurde.

Camera Obscura mit horizontalem Sobel gefaltet. Da auch negative Werte entstehen, wird der Nullpunkt als mittleres Grau dargestellt

Camera Obscura mit vertikalem Sobel gefaltet. Da auch negative Werte entstehen, wird der Nullpunkt als mittleres Grau dargestellt

Camera Obscura mit horizontalem und vertikalem Sobel gefaltet und kombiniert.

[Bearbeiten] Quellen

↑ Bernd Jähne: Digitale Bildverarbeitung. Springer Verlag, Mai 2005 6.Auflage ISBN 3540249990

Von „http://de.wikipedia.org../../../s/o/b/Sobel-Operator_23bb.html“

Kategorie: Kantendetektion

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