Spektralradius
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Der Spektralradius ist ein Konzept in der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis. Der Name erklärt sich dadurch, dass das Spektrum eines Operators in einer Kreisscheibe enthalten ist, deren Radius der Spektralradius ist.
[Bearbeiten] Spektralradius von Matrizen
Der Spektralradius einer 
-Matrix 
ist der Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts von A, das heißt
.
Dabei durchläuft λi die höchstens n verschiedenen Eigenwerte von A.
Jede induzierte Matrixnorm von A ist mindestens so groß wie der Spektralradius. Ist nämlich λ ein Eigenwert zu einem Eigenvektor v von A, dann gilt
.
Genauer gibt es zu jedem ε > 0 eine von A abhängige Matrixnorm, so dass
gilt. Ferner gilt für jede induzierte Matrixnorm
![\rho(A)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|A^n\|}](../../../math/b/e/7/be7c16b5b861035877ba64e4d0e35f0d.png)
.
[Bearbeiten] Anwendungen
Der Spektralradius ist beispielsweise bei Splitting-Verfahren von Bedeutung. Falls ρ(I − B − 1A) < 1, dann konvergiert die Iteration
- xk + 1 = B − 1(B − A)xk + B − 1b
für jeden Startvektor x0 gegen die exakte Lösung x* des linearen Gleichungssystems Ax = b.
[Bearbeiten] Spektralradius in der Funktionalanalysis
Der Begriff des Spektralradius kann allgemeiner auch für beschränkte lineare Operatoren auf Banachräumen definiert werden. Für einen beschränkten linearen Operator A definiert man
,
wobei σ(A) das Spektrum von A ist. Man kann zeigen, dass das Supremum angenommen wird, also ein Maximum vorliegt. Man kann auch hier zeigen, dass
gilt.
