Sphärizität

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Sphärizität ist ein Maß dafür, wie kugelförmig ein Körper ist. Der Begriff wurde 1932 von Wadell definiert. Unter der Spärizitat, $Ψ$ , eines Körpers K versteht man das Verhältnis der Oberfläche einer Kugel gleichen Volumens zur Oberfläche des Körpers selbst:

$\Psi = \frac{\pi^{\frac{1}{3}}(6V_p)^{\frac{2}{3}}}{A_p}$ ,

wobei $V p$ das Volumen des Körpers und $A p$ seine Oberfläche bedeutet.

[Bearbeiten] Sphärizität bekannter Körper

Name	Volumen	Oberfläche	Sphärizität
Platonische Körper
Tetraeder	$\frac{\sqrt{2}}{12}\,s^3$	$\sqrt{3}\,s^2$	$\sqrt [3] {\frac{\pi}{6\sqrt{3}} } \approx 0{,}671$
Würfel (Hexaeder)	$\,s^3$	$6\,s^2$	$\sqrt [3] { \frac{\pi}{6} } \approx 0{,}806$
Oktaeder	$\frac{1}{3} \sqrt{2}\, s^3$	$2 \sqrt{3}\, s^2$	$\sqrt [3] { \frac{\pi}{3\sqrt{3}} } \approx 0{,}846$
Dodekaeder	$\frac{1}{4} \left(15 + 7\sqrt{5}\right)\, s^3$	$3 \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}\, s^2$	$\sqrt [3] { \frac{\left(15 + 7\sqrt{5}\right)^2 \pi}{12\left(25+10\sqrt{5}\right)^{\frac{3}{2}}} } \approx 0{,}968$
Ikosaeder	$\frac{5}{12}\left(3+\sqrt{5}\right)\, s^3$	$5\sqrt{3}\,s^2$	$\sqrt [3] { \frac{ \left(3 + \sqrt{5} \right)^2 \pi}{60\sqrt{3}} } \approx 0{,}939$
Körper mit nichtplanaren Flächen
idealer Kegel $(h=2\sqrt{2}r)$	$\frac{1}{3} \pi\, r^2 h$ $= \frac{2\sqrt{2}}{3} \pi\, r^3$	$\pi\, r (r + \sqrt{r^2 + h^2})$ $= 4 \pi\, r^2$	$\sqrt [3] { \frac{1}{2} } \approx 0{,}794$
Halbkugel	$\frac{2}{3} \pi\, r^3$	$3 \pi\, r^2$	$\sqrt[3] { \frac{16}{27} } \approx 0{,}840$
idealer Zylinder $(h=2\,r)$	$\pi r^2 h = 2 \pi\,r^3$	$2 \pi r ( r + h ) = 6 \pi\,r^2$	$\sqrt [3] { \frac{2}{3} } \approx 0{,}874$
idealer Torus $(R = r)$	$2 \pi^2 R r^2 = 2 \pi^2 \,r^3$	$4 \pi^2 R r = 4 \pi^2\,r^2$	$\sqrt [3] { \frac{9}{4 \pi} } \approx 0{,}894$
Kugel	$\frac{4}{3} \pi r^3$	$4 \pi\,r^2$	$1$

[Bearbeiten] Anwendung

Bei Erkennungsalgorithmen in der Teilchenphysik wird die Größe der Sphärizität von Ereignissen gemessen, siehe Fermilab-Link, wobei die leicht geänderte Form

$S^{\alpha\beta} = \frac{\sum_i p_i^\alpha p_i^\beta}{\sum_i |p_i|^2}$